Страница 320 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1257 Докажите следующие утверждения: а) если фигура P равна фигуре Q, то фигура Q равна фигуре P; б) если фигура P равна фигуре Q, а фигура Q равна фигуре R, то фигура P равна фигуре R.

а) если фигура P равна фигуре Q, то фигура Q равна фигуре P

По определению, две фигуры называются равными, если существует движение (изометрия), которое переводит одну фигуру в другую. Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

Если фигура $P$ равна фигуре $Q$, это означает, что существует движение $f$, которое переводит фигуру $P$ в фигуру $Q$. Символически это можно записать как $f(P) = Q$.

Каждое движение является обратимым преобразованием, и обратное ему преобразование также является движением. Обозначим обратное для $f$ движение как $f^{-1}$. Если движение $f$ переводит любую точку $A$ в точку $A'$, то обратное движение $f^{-1}$ переводит точку $A'$ обратно в точку $A$.

Поскольку движение $f$ переводит всю фигуру $P$ в фигуру $Q$, то обратное движение $f^{-1}$ будет переводить всю фигуру $Q$ обратно в фигуру $P$. То есть $f^{-1}(Q) = P$.

Так как мы нашли движение (а именно $f^{-1}$), которое переводит фигуру $Q$ в фигуру $P$, то по определению равенства фигур, фигура $Q$ равна фигуре $P$. Это свойство называется симметричностью.

Ответ: Утверждение доказано.

б) если фигура P равна фигуре Q, а фигура Q равна фигуре R, то фигура P равна фигуре R

Дано, что фигура $P$ равна фигуре $Q$, и фигура $Q$ равна фигуре $R$.

Из того, что фигура $P$ равна фигуре $Q$, следует, что существует движение $f_1$, которое переводит фигуру $P$ в фигуру $Q$. То есть $f_1(P) = Q$.

Из того, что фигура $Q$ равна фигуре $R$, следует, что существует движение $f_2$, которое переводит фигуру $Q$ в фигуру $R$. То есть $f_2(Q) = R$.

Чтобы доказать, что фигура $P$ равна фигуре $R$, нам нужно найти такое движение, которое переводит $P$ в $R$. Рассмотрим композицию (последовательное выполнение) движений $f_1$ и $f_2$. Обозначим это новое преобразование $f = f_2 \circ f_1$. Это означает, что мы сначала применяем движение $f_1$, а затем к результату применяем движение $f_2$.

Применим преобразование $f$ к фигуре $P$:

$f(P) = (f_2 \circ f_1)(P) = f_2(f_1(P))$

Мы знаем, что $f_1(P) = Q$, поэтому можем подставить это в выражение:

$f(P) = f_2(Q)$

Также мы знаем, что $f_2(Q) = R$, следовательно:

$f(P) = R$

Мы нашли преобразование $f$, которое переводит фигуру $P$ в фигуру $R$. Теперь нужно убедиться, что это преобразование является движением. Композиция двух движений всегда является движением. Покажем это: пусть $A$ и $B$ — две произвольные точки. Движение $f_1$ сохраняет расстояние между ними, то есть расстояние между их образами $A' = f_1(A)$ и $B' = f_1(B)$ равно расстоянию между $A$ и $B$. Затем движение $f_2$ также сохраняет расстояние, то есть расстояние между точками $A'' = f_2(A')$ и $B'' = f_2(B')$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$. Таким образом, расстояние между конечными точками $A''$ и $B''$ равно исходному расстоянию между $A$ и $B$. Значит, композиция $f$ сохраняет расстояния и является движением.

Поскольку существует движение $f$, которое переводит фигуру $P$ в фигуру $R$, то по определению равенства фигур, фигура $P$ равна фигуре $R$. Это свойство называется транзитивностью.

Ответ: Утверждение доказано.