Страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1269 Если при повороте вокруг точки О на некоторый угол прямая а переходит в прямую а₁, то угол между прямыми а и а₁ либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°. Докажите.

Пусть $R$ — это поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$. По условию, при этом повороте прямая $a$ переходит в прямую $a_1$. Нам нужно доказать, что угол между прямыми $a$ и $a_1$ либо равен $\alpha$, либо дополняет его до $180^\circ$, то есть равен $180^\circ - \alpha$.

Рассмотрим два возможных случая расположения центра поворота $O$ относительно прямой $a$.

Случай 1: Центр поворота $O$ лежит на прямой $a$.

Поскольку точка $O$ является центром поворота, она остается на месте, то есть $R(O) = O$. Так как $O$ принадлежит прямой $a$, то она должна принадлежать и ее образу, прямой $a_1$. Следовательно, прямые $a$ и $a_1$ пересекаются в точке $O$. Возьмем на прямой $a$ любую точку $P$, отличную от $O$. При повороте точка $P$ перейдет в точку $P_1$, которая по определению лежит на прямой $a_1$. По определению поворота, $OP = OP_1$ и угол $\angle POP_1$ равен углу поворота $\alpha$. Угол между прямыми $a$ (которая является прямой $OP$) и $a_1$ (которая является прямой $OP_1$) — это угол, образованный ими в точке пересечения $O$. Один из углов в точке пересечения равен $\angle POP_1 = \alpha$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - \alpha$. Таким образом, утверждение для этого случая доказано.

Случай 2: Центр поворота $O$ не лежит на прямой $a$.

Опустим из точки $O$ перпендикуляр на прямую $a$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда $OH \perp a$. Пусть $a_1$ — образ прямой $a$ при повороте, а $H_1$ — образ точки $H$. Так как точка $H$ лежит на прямой $a$, ее образ $H_1$ лежит на прямой $a_1$. По определению поворота, $OH = OH_1$ и $\angle HOH_1 = \alpha$. Поворот является движением, а значит, сохраняет углы. Поскольку $OH \perp a$, то образы этих линий также будут перпендикулярны: $OH_1 \perp a_1$.

Если угол поворота $\alpha = 180^\circ$, то точки $H, O, H_1$ лежат на одной прямой. Так как $a \perp OH$ и $a_1 \perp OH_1$, прямые $a$ и $a_1$ перпендикулярны одной и той же прямой $HH_1$, а значит, они параллельны. Угол между ними равен $0^\circ$. По доказываемой теореме, угол должен быть равен $\alpha=180^\circ$ или $180^\circ - \alpha = 0^\circ$. Утверждение выполняется. Если $\alpha = 0^\circ$, то $a_1$ совпадает с $a$, и угол равен $0^\circ$, что также удовлетворяет условию.

Теперь рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $a_1$ не параллельны и пересекаются в некоторой точке $K$. Рассмотрим четырехугольник $OHKH_1$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. Нам известны углы $\angle OHK = 90^\circ$ (так как $OH \perp a$), $\angle OH_1K = 90^\circ$ (так как $OH_1 \perp a_1$) и $\angle HOH_1 = \alpha$ (по определению поворота). Тогда для четвертого угла $\angle HKH_1$ получаем:

$\angle HKH_1 + \angle OHK + \angle HOH_1 + \angle OH_1K = 360^\circ$

$\angle HKH_1 + 90^\circ + \alpha + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle HKH_1 + \alpha = 180^\circ$

$\angle HKH_1 = 180^\circ - \alpha$

Угол $\angle HKH_1$ является одним из углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $a_1$. Другой (смежный) угол равен $180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$. Следовательно, и в этом случае угол между прямыми $a$ и $a_1$ либо равен углу поворота $\alpha$, либо дополняет его до $180^\circ$.

Таким образом, утверждение доказано для всех случаев.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между прямой и ее образом при повороте на угол $\alpha$ действительно равен либо $\alpha$, либо $180^\circ - \alpha$.

1270 Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных отрезка. Постройте центр О поворота, при котором один отрезок отображается на другой.

Для построения центра поворота $O$, который отображает один отрезок на другой равный ему отрезок, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от взаимного расположения отрезков. Центр поворота — это точка, равноудаленная от соответствующих концов отрезков.

а)

Пусть даны два равных и параллельных отрезка $AB$ и $CD$. Поворот является движением, сохраняющим ориентацию. Если отрезки сонаправлены (например, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны), то одно движение, переводящее $A$ в $C$ и $B$ в $D$ — это параллельный перенос. Параллельный перенос не является поворотом (не имеет центра в конечной части плоскости).

Однако, если отрезки противонаправлены (вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$), то существует поворот на $180^\circ$ (центральная симметрия), который отображает один отрезок на другой. В этом случае точка $A$ переходит в $D$, а точка $B$ переходит в $C$.

Центр такого поворота $O$ должен быть равноудален от $A$ и $D$ ($OA=OD$) и от $B$ и $C$ ($OB=OC$). Это означает, что $O$ является серединой отрезков $AD$ и $BC$. В четырехугольнике $ACBD$ диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм, а точка $O$ — его центр.

Построение:

1. Соединим конец одного отрезка, например, точку $A$, с концом другого отрезка, точкой $D$.
2. Соединим два других конца — точки $B$ и $C$.
3. Точка пересечения полученных отрезков $AD$ и $BC$ и будет искомым центром поворота $O$.

Также центр $O$ можно построить, найдя середину любого из отрезков, соединяющих противолежащие концы, например, $AD$.

Ответ: Центр поворота $O$ — это точка пересечения отрезков, соединяющих концы одного отрезка с противолежащими концами другого (например, $A$ с $D$ и $B$ с $C$). Этот поворот является центральной симметрией (поворотом на $180^\circ$).

б)

Пусть даны два равных, но не параллельных отрезка $AB$ и $CD$. При повороте один отрезок может отобразиться на другой двумя способами:

1. Точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $B$ — в точку $D$.
2. Точка $A$ переходит в точку $D$, а точка $B$ — в точку $C$.

Рассмотрим первый случай. Если поворот с центром $O$ переводит $A$ в $C$ и $B$ в $D$, то по определению поворота должны выполняться равенства $OA = OC$ и $OB = OD$.

Множество точек, равноудаленных от $A$ и $C$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Множество точек, равноудаленных от $B$ и $D$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.

Следовательно, центр поворота $O$ является точкой пересечения этих двух серединных перпендикуляров. Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ не параллельны, то в общем случае не будут параллельны и отрезки $AC$ и $BD$. Это означает, что их серединные перпендикуляры пересекутся в единственной точке.

Построение:

1. Соединим точки $A$ и $C$, чтобы получить отрезок $AC$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
3. Соединим точки $B$ и $D$, чтобы получить отрезок $BD$.
4. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
5. Точка пересечения этих двух серединных перпендикуляров и есть искомый центр поворота $O$.

Примечание: Если окажется, что отрезки $AC$ и $BD$ параллельны, то их серединные перпендикуляры не пересекутся (будут параллельны). В этом случае движение, переводящее $A \to C$ и $B \to D$, является не поворотом, а зеркальным отражением. Тогда для нахождения центра поворота следует рассмотреть второй случай отображения: $A \to D$ и $B \to C$. В этом случае центр поворота будет находиться на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам $AD$ и $BC$. Так как не может быть, чтобы одновременно $AC \parallel BD$ и $AD \parallel BC$ (для неколлинеарных отрезков), то хотя бы один из двух вариантов построения даст искомый центр поворота.

Ответ: Центр поворота $O$ находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответствующие концы исходных отрезков (например, $AC$ и $BD$).