Номер 1269, страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1269, страница 323.

1269 Если при повороте вокруг точки О на некоторый угол прямая а переходит в прямую а₁, то угол между прямыми а и а₁ либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°. Докажите.

Пусть $R$ — это поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$. По условию, при этом повороте прямая $a$ переходит в прямую $a_1$. Нам нужно доказать, что угол между прямыми $a$ и $a_1$ либо равен $\alpha$, либо дополняет его до $180^\circ$, то есть равен $180^\circ - \alpha$.

Рассмотрим два возможных случая расположения центра поворота $O$ относительно прямой $a$.

Случай 1: Центр поворота $O$ лежит на прямой $a$.

Поскольку точка $O$ является центром поворота, она остается на месте, то есть $R(O) = O$. Так как $O$ принадлежит прямой $a$, то она должна принадлежать и ее образу, прямой $a_1$. Следовательно, прямые $a$ и $a_1$ пересекаются в точке $O$. Возьмем на прямой $a$ любую точку $P$, отличную от $O$. При повороте точка $P$ перейдет в точку $P_1$, которая по определению лежит на прямой $a_1$. По определению поворота, $OP = OP_1$ и угол $\angle POP_1$ равен углу поворота $\alpha$. Угол между прямыми $a$ (которая является прямой $OP$) и $a_1$ (которая является прямой $OP_1$) — это угол, образованный ими в точке пересечения $O$. Один из углов в точке пересечения равен $\angle POP_1 = \alpha$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - \alpha$. Таким образом, утверждение для этого случая доказано.

Случай 2: Центр поворота $O$ не лежит на прямой $a$.

Опустим из точки $O$ перпендикуляр на прямую $a$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда $OH \perp a$. Пусть $a_1$ — образ прямой $a$ при повороте, а $H_1$ — образ точки $H$. Так как точка $H$ лежит на прямой $a$, ее образ $H_1$ лежит на прямой $a_1$. По определению поворота, $OH = OH_1$ и $\angle HOH_1 = \alpha$. Поворот является движением, а значит, сохраняет углы. Поскольку $OH \perp a$, то образы этих линий также будут перпендикулярны: $OH_1 \perp a_1$.

Если угол поворота $\alpha = 180^\circ$, то точки $H, O, H_1$ лежат на одной прямой. Так как $a \perp OH$ и $a_1 \perp OH_1$, прямые $a$ и $a_1$ перпендикулярны одной и той же прямой $HH_1$, а значит, они параллельны. Угол между ними равен $0^\circ$. По доказываемой теореме, угол должен быть равен $\alpha=180^\circ$ или $180^\circ - \alpha = 0^\circ$. Утверждение выполняется. Если $\alpha = 0^\circ$, то $a_1$ совпадает с $a$, и угол равен $0^\circ$, что также удовлетворяет условию.

Теперь рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $a_1$ не параллельны и пересекаются в некоторой точке $K$. Рассмотрим четырехугольник $OHKH_1$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. Нам известны углы $\angle OHK = 90^\circ$ (так как $OH \perp a$), $\angle OH_1K = 90^\circ$ (так как $OH_1 \perp a_1$) и $\angle HOH_1 = \alpha$ (по определению поворота). Тогда для четвертого угла $\angle HKH_1$ получаем:

$\angle HKH_1 + \angle OHK + \angle HOH_1 + \angle OH_1K = 360^\circ$

$\angle HKH_1 + 90^\circ + \alpha + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle HKH_1 + \alpha = 180^\circ$

$\angle HKH_1 = 180^\circ - \alpha$

Угол $\angle HKH_1$ является одним из углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $a_1$. Другой (смежный) угол равен $180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$. Следовательно, и в этом случае угол между прямыми $a$ и $a_1$ либо равен углу поворота $\alpha$, либо дополняет его до $180^\circ$.

Таким образом, утверждение доказано для всех случаев.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между прямой и ее образом при повороте на угол $\alpha$ действительно равен либо $\alpha$, либо $180^\circ - \alpha$.