Номер 1263, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1263, страница 322.

1263 Постройте отрезок A₁B₁, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

Для построения отрезка $A_1B_1$, который получается из данного отрезка $AB$ поворотом вокруг данного центра $O$, необходимо выполнить поворот его конечных точек, $A$ и $B$, вокруг точки $O$ на заданный угол и в заданном направлении. Затем полученные точки $A_1$ и $B_1$ соединяются отрезком. Поворот является движением, поэтому он сохраняет расстояния, и, следовательно, длина отрезка $A_1B_1$ будет равна длине исходного отрезка $AB$.

Построение выполняется с помощью циркуля и транспортира.

а) на 120° по часовой стрелке

Алгоритм построения:

1. Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$. Получаем отрезок $OA$.
2. С помощью транспортира, установленного в точке $O$, откладываем от луча $OA$ угол, равный $120^\circ$, по направлению движения часовой стрелки. Строим вспомогательный луч $l_A$ из точки $O$.
3. С помощью циркуля измеряем расстояние $OA$. Затем, установив острие циркуля в точку $O$, проводим дугу радиусом $OA$ так, чтобы она пересекла луч $l_A$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A_1$. По построению, $OA = OA_1$ и $\angle AOA_1 = 120^\circ$.
4. Аналогичные действия повторяем для точки $B$. Соединяем $B$ и $O$. От луча $OB$ откладываем угол $120^\circ$ по часовой стрелке, строим луч $l_B$. На этом луче находим точку $B_1$ такую, что $OB_1 = OB$.
5. Соединяем полученные точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$ построен. Он получен путем поворота точек $A$ и $B$ на $120^\circ$ по часовой стрелке вокруг центра $O$ и соединения их образов $A_1$ и $B_1$.

б) на 75° против часовой стрелки

Алгоритм построения:

1. Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$ отрезком $OA$.
2. С помощью транспортира от луча $OA$ откладываем угол, равный $75^\circ$, против направления движения часовой стрелки. Строим вспомогательный луч $l_A$.
3. На луче $l_A$ откладываем от точки $O$ отрезок $OA_1$, равный по длине отрезку $OA$. Для этого удобно использовать циркуль. По построению, $OA = OA_1$ и $\angle AOA_1 = 75^\circ$.
4. Повторяем те же шаги для точки $B$. Строим точку $B_1$ так, чтобы отрезок $OB_1$ был равен отрезку $OB$, а угол $\angle BOB_1$, отложенный против часовой стрелки, был равен $75^\circ$.
5. Соединяем точки $A_1$ и $B_1$ прямой линией.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$ построен. Он получен путем поворота точек $A$ и $B$ на $75^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$ и соединения их образов $A_1$ и $B_1$.

в) на 180°

Поворот на $180^\circ$ также называется центральной симметрией относительно центра поворота. Направление вращения (по или против часовой стрелки) в данном случае не имеет значения, так как результат будет одинаковым.

Алгоритм построения:

1. Проводим прямую через точку $A$ и центр $O$.
2. На этой прямой, по другую сторону от точки $O$, откладываем отрезок $OA_1$, равный по длине отрезку $OA$. Точка $A_1$ является образом точки $A$. Точки $A$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой, при этом $O$ — середина отрезка $AA_1$.
3. Аналогично строим образ точки $B$. Проводим прямую через $B$ и $O$ и на ней находим точку $B_1$ так, чтобы $O$ была серединой отрезка $BB_1$ (то есть $OB_1 = OB$).
4. Соединяем точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$ построен. Он получен путем центральной симметрии (или поворота на $180^\circ$) точек $A$ и $B$ относительно центра $O$ и соединения их образов $A_1$ и $B_1$.