Номер 1253, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1253, страница 319.

Условие.

1253 Какие из следующих утверждений справедливы: а) если фигуры F и F₁ симметричны относительно точки О, то фигура F₁ получена центральной симметрией из фигуры F; б) если фигуры F и F₁ симметричны относительно прямой p, то фигура F получена осевой симметрией из фигуры F₁; в) если фигура F₁ получена движением плоскости из фигуры F, то F и F₁ симметричны относительно некоторой прямой?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

а) если фигуры $F$ и $F_1$ симметричны относительно точки $O$, то фигура $F_1$ получена центральной симметрией из фигуры $F$;
Данное утверждение справедливо. По определению, две фигуры $F$ и $F_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если преобразование центральной симметрии с центром в точке $O$ переводит фигуру $F$ в фигуру $F_1$. Утверждение является, по сути, переформулировкой этого определения. Каждая точка фигуры $F_1$ является образом соответствующей точки фигуры $F$ при центральной симметрии относительно точки $O$.
Ответ: утверждение справедливо.

б) если фигуры $F$ и $F_1$ симметричны относительно прямой $p$, то фигура $F$ получена осевой симметрией из фигуры $F_1$;
Данное утверждение справедливо. Осевая симметрия — это преобразование, которое является обратным самому себе (инволюция). Это значит, что если точка $A_1$ является образом точки $A$ при симметрии относительно прямой $p$, то и точка $A$ является образом точки $A_1$ при той же симметрии. Если фигуры $F$ и $F_1$ симметричны относительно прямой $p$, то это значит, что $F_1$ — образ $F$. Из свойства инволютивности следует, что и $F$ — образ $F_1$ при той же осевой симметрии.
Ответ: утверждение справедливо.

в) если фигура $F_1$ получена движением плоскости из фигуры $F$, то $F$ и $F_1$ симметричны относительно некоторой прямой?
Данное утверждение несправедливо. Движение (или изометрия) — это любое преобразование плоскости, сохраняющее расстояния. К движениям относятся не только осевая симметрия, но и параллельный перенос, поворот и скользящая симметрия. Утверждение было бы верным, если бы любое движение являлось осевой симметрией, что не так.
В качестве контрпримера можно рассмотреть параллельный перенос на ненулевой вектор. Параллельный перенос является движением, но он не является осевой симметрией. Например, у осевой симметрии есть целая прямая неподвижных точек (ось симметрии), в то время как у параллельного переноса на ненулевой вектор неподвижных точек нет. Следовательно, если фигура $F_1$ получена из фигуры $F$ параллельным переносом, то в общем случае они не будут симметричны относительно какой-либо прямой.
Ответ: утверждение несправедливо.