Номер 1250, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1250, страница 319.

Условие.

1250 Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства этого утверждения, которое по сути является признаком равенства параллелограммов, рассмотрим два параллелограмма, $ABCD$ и $A'B'C'D'$. По условию задачи, две смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними другого.

Дано:
1. $ABCD$ — параллелограмм.
2. $A'B'C'D'$ — параллелограмм.
3. Смежные стороны $AB$ и $AD$ и угол между ними $\angle DAB$ параллелограмма $ABCD$ соответственно равны смежным сторонам $A'B'$ и $A'D'$ и углу между ними $\angle D'A'B'$ параллелограмма $A'B'C'D'$, то есть:
$AB = A'B'$,
$AD = A'D'$,
$\angle DAB = \angle D'A'B'$.

Доказать:
Параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A'B'C'D'$.

Доказательство:

Два многоугольника называются равными, если они имеют одинаковую форму и размеры, то есть если все их соответствующие стороны и углы равны. Наша цель — показать, что у параллелограммов $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы.

1. Сравнение сторон.

Воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому его противолежащие стороны равны.Для параллелограмма $ABCD$ имеем: $CD = AB$ и $BC = AD$.Для параллелограмма $A'B'C'D'$ имеем: $C'D' = A'B'$ и $B'C' = A'D'$.

Сравним соответствующие стороны обоих параллелограммов, используя данные условия:
- Стороны $AB$ и $A'B'$ равны по условию: $AB = A'B'$.
- Стороны $AD$ и $A'D'$ равны по условию: $AD = A'D'$.
- Сторона $CD$ равна $AB$. Так как из условия $AB = A'B'$, а из свойства параллелограмма $A'B' = C'D'$, то получаем, что $CD = C'D'$.
- Сторона $BC$ равна $AD$. Так как из условия $AD = A'D'$, а из свойства параллелограмма $A'D' = B'C'$, то получаем, что $BC = B'C'$.

Таким образом, мы установили, что все соответствующие стороны двух параллелограммов равны: $AB=A'B'$, $BC=B'C'$, $CD=C'D'$, $DA=D'A'$.

2. Сравнение углов.

Воспользуемся свойствами углов параллелограмма: противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.Для параллелограмма $ABCD$: $\angle BCD = \angle DAB$, $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB$, и $\angle CDA = \angle ABC$.Для параллелограмма $A'B'C'D'$: $\angle B'C'D' = \angle D'A'B'$, $\angle A'B'C' = 180^\circ - \angle D'A'B'$, и $\angle C'D'A' = \angle A'B'C'$.

Сравним соответствующие углы, используя данные условия:
- Углы $\angle DAB$ и $\angle D'A'B'$ равны по условию: $\angle DAB = \angle D'A'B'$.
- Угол $\angle BCD$ равен $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = \angle D'A'B'$ (по условию), а $\angle D'A'B' = \angle B'C'D'$ (как противолежащие углы в параллелограмме), то $\angle BCD = \angle B'C'D'$.
- Угол $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB$. Так как $\angle DAB = \angle D'A'B'$ (по условию), то $\angle ABC = 180^\circ - \angle D'A'B'$. В то же время, $\angle A'B'C' = 180^\circ - \angle D'A'B'$, следовательно, $\angle ABC = \angle A'B'C'$.
- Угол $\angle CDA$ равен $\angle ABC$. Аналогично, $\angle C'D'A'$ равен $\angle A'B'C'$. Поскольку мы уже показали, что $\angle ABC = \angle A'B'C'$, отсюда следует, что $\angle CDA = \angle C'D'A'$.

Таким образом, мы установили, что все соответствующие углы двух параллелограммов равны: $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$, $\angle D = \angle D'$.

Поскольку все соответствующие стороны и все соответствующие углы параллелограммов $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны, то эти параллелограммы равны по определению равенства многоугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два параллелограмма, у которых соответственно равны две смежные стороны и угол между ними, являются равными, так как из этого условия следует равенство всех их соответствующих сторон и углов.