Номер 1245, страница 318 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1245, страница 318.

1245 Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

В основе всех доказательств лежат свойства движения (изометрии). Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Из этого основного свойства следуют другие важные свойства, которые мы будем использовать:

• Движение переводит отрезок в отрезок, равный данному.
• Движение переводит прямую в прямую.
• Движение сохраняет углы между прямыми.
• Движение переводит параллельные прямые в параллельные прямые.

а)

По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Это означает, что прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$), а прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

При движении точки $A, B, C, D$ переходят в точки $A', B', C', D'$. Так как движение сохраняет параллельность прямых, то образы параллельных прямых также будут параллельны. Следовательно, из $AB \parallel CD$ следует $A'B' \parallel C'D'$, а из $BC \parallel AD$ следует $B'C' \parallel A'D'$.

Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ имеет попарно параллельные противоположные стороны. По определению, это параллелограмм.

Ответ: доказано.

б)

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) не параллельны. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Это значит, что $AD \parallel BC$, а стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

При движении точки $A, B, C, D$ переходят в точки $A', B', C', D'$. Поскольку движение сохраняет параллельность, то из $AD \parallel BC$ следует, что $A'D' \parallel B'C'$.

Движение — это взаимно-однозначное преобразование. Если бы образы непараллельных прямых $AB$ и $CD$ стали параллельны ($A'B' \parallel C'D'$), то их прообразы ($AB$ и $CD$) также должны были бы быть параллельными, что противоречит определению трапеции. Значит, стороны $A'B'$ и $C'D'$ не параллельны.

Таким образом, в четырехугольнике $A'B'C'D'$ две стороны параллельны, а две другие — нет. По определению, это трапеция.

Ответ: доказано.

в)

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть дан ромб $ABCD$. Это означает, что он является параллелограммом и $AB = BC = CD = DA$.

Из пункта а) мы уже доказали, что при движении параллелограмм отображается на параллелограмм. Значит, образ ромба, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом.

Так как движение сохраняет расстояния, то длины сторон образа равны длинам сторон прообраза: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = DA$.

Поскольку у исходного ромба все стороны были равны ($AB = BC = CD = DA$), то и у полученного параллелограмма $A'B'C'D'$ все стороны будут равны между собой ($A'B' = B'C' = C'D' = D'A'$).

Параллелограмм с равными сторонами является ромбом. Следовательно, образ ромба при движении есть ромб.

Ответ: доказано.

г)

Доказательство для прямоугольника:

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Пусть дан прямоугольник $ABCD$.

Из пункта а) следует, что его образ $A'B'C'D'$ при движении будет параллелограммом. Движение сохраняет величины углов. Так как все углы прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$, то и все углы параллелограмма $A'B'C'D'$ будут равны $90^\circ$ ($\angle A' = \angle A = 90^\circ$, $\angle B' = \angle B = 90^\circ$ и т.д.).

Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Следовательно, образ прямоугольника есть прямоугольник.

Доказательство для квадрата:

Квадрат — это фигура, которая является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны).

Пусть дан квадрат. Так как он является прямоугольником, то, согласно доказанному выше, его образ при движении будет прямоугольником. Так как он является ромбом, то, согласно пункту в), его образ будет ромбом.

Фигура, которая одновременно является прямоугольником и ромбом, — это квадрат. Следовательно, образ квадрата при движении есть квадрат.

Ответ: доказано.