Номер 1239, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1239, страница 312.

1239 Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник.

Задача состоит в том, чтобы описать (построить) вокруг данной окружности правильный многоугольник. Это означает, что все стороны многоугольника должны касаться окружности. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Основной принцип заключается в нахождении точек касания на окружности и проведении через них касательных.

а) правильный четырехугольник

Правильным четырехугольником является квадрат. Для его построения вокруг данной окружности (пусть ее центр — точка $O$) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести через центр окружности $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Сначала проводим произвольный диаметр $AC$. Затем строим к нему перпендикулярный диаметр $BD$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра к отрезку $AC$).
2. Точки $A, B, C, D$ являются точками, в которых стороны будущего квадрата будут касаться окружности.
3. Построить касательные к окружности в каждой из этих четырех точек. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, нужно:
   • через точку $A$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $AC$;
   • через точку $B$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $BD$;
   • через точку $C$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $AC$;
   • через точку $D$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $BD$.
4. Построенные четыре касательные пересекутся и образуют искомый квадрат, описанный около окружности.

Ответ: Для построения описанного квадрата необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра окружности и в их концах построить касательные к окружности. Пересечение этих касательных образует квадрат.

б) правильный восьмиугольник

Для построения правильного восьмиугольника, описанного около окружности с центром $O$, нужно найти восемь точек касания, равномерно распределенных по окружности.

1. Сначала находим четыре точки касания, как в предыдущем задании. Строим два взаимно перпендикулярных диаметра $AC$ и $BD$. Точки $A, B, C, D$ — это четыре из восьми необходимых точек касания.
2. Чтобы найти оставшиеся четыре точки, необходимо разделить дуги между уже найденными точками пополам. Это достигается путем построения биссектрис центральных углов, образованных радиусами. Мы имеем четыре прямых угла: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$.
3. Строим биссектрисы этих четырех углов. Каждая биссектриса пересечет окружность в новой точке. Обозначим все восемь точек на окружности по порядку: $A, E, B, F, C, G, D, H$. Эти точки делят окружность на восемь равных дуг, и они будут являться точками касания сторон правильного восьмиугольника.
4. Через каждую из восьми полученных точек ($A, E, B, F, C, G, D, H$) проводим касательную к окружности. Каждая касательная строится как прямая, перпендикулярная радиусу, проведенному в соответствующую точку касания (например, в точке $E$ касательная перпендикулярна радиусу $OE$).
5. Эти восемь касательных, пересекаясь, образуют искомый правильный восьмиугольник, описанный около данной окружности.

Ответ: Для построения описанного правильного восьмиугольника сначала строятся концы двух перпендикулярных диаметров, а затем — биссектрисы четырех образовавшихся центральных прямых углов для нахождения еще четырех точек на окружности. В полученных восьми точках строятся касательные, которые и образуют искомый восьмиугольник.