Номер 1234, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1234, страница 312.

1234 Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобокой. Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Согласно условию, основания равны $a = AD = 14$ см и $b = BC = 4$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны $c = AB = CD = 13$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя вершинами трапеции, например, для треугольника $ACD$. Радиус $R$ описанной окружности треугольника можно найти по обобщенной теореме синусов: $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$, где $d$ — одна из сторон треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. Для треугольника $ACD$ возьмем его сторону $AC$ (диагональ трапеции) и противолежащий угол $\angle ADC$.

Сначала найдем высоту трапеции и ее диагональ. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от вершины тупого угла на большем основании, вычисляется по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Из этого же прямоугольного треугольника $CHD$ найдем синус угла $\angle ADC$:$\sin(\angle ADC) = \frac{CH}{CD} = \frac{12}{13}$.

Теперь найдем длину диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Катет $AH$ равен $AD - HD = 14 - 5 = 9$ см. По теореме Пифагора для треугольника $ACH$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.Отсюда диагональ $AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить радиус $R$ описанной окружности, используя найденные значения для диагонали $AC$ и синуса угла $\angle ADC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ADC)} = \frac{15}{2 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{15 \cdot 13}{2 \cdot 12} = \frac{15 \cdot 13}{24}$.Сократив дробь на 3, получим:$R = \frac{5 \cdot 13}{8} = \frac{65}{8}$ см.

Длина описанной окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Подставим найденное значение радиуса:$L = 2\pi \cdot \frac{65}{8} = \frac{65\pi}{4}$ см.

Ответ: $\frac{65\pi}{4}$ см.