Номер 1234, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Дополнительные задачи - номер 1234, страница 312.

Условие.

1234 Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобокой. Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Согласно условию, основания равны $a = AD = 14$ см и $b = BC = 4$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны $c = AB = CD = 13$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя вершинами трапеции, например, для треугольника $ACD$. Радиус $R$ описанной окружности треугольника можно найти по обобщенной теореме синусов: $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$, где $d$ — одна из сторон треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. Для треугольника $ACD$ возьмем его сторону $AC$ (диагональ трапеции) и противолежащий угол $\angle ADC$.

Сначала найдем высоту трапеции и ее диагональ. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от вершины тупого угла на большем основании, вычисляется по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Из этого же прямоугольного треугольника $CHD$ найдем синус угла $\angle ADC$:$\sin(\angle ADC) = \frac{CH}{CD} = \frac{12}{13}$.

Теперь найдем длину диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Катет $AH$ равен $AD - HD = 14 - 5 = 9$ см. По теореме Пифагора для треугольника $ACH$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.Отсюда диагональ $AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить радиус $R$ описанной окружности, используя найденные значения для диагонали $AC$ и синуса угла $\angle ADC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ADC)} = \frac{15}{2 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{15 \cdot 13}{2 \cdot 12} = \frac{15 \cdot 13}{24}$.Сократив дробь на 3, получим:$R = \frac{5 \cdot 13}{8} = \frac{65}{8}$ см.

Длина описанной окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Подставим найденное значение радиуса:$L = 2\pi \cdot \frac{65}{8} = \frac{65\pi}{4}$ см.

Ответ: $\frac{65\pi}{4}$ см.