Номер 1230, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1230, страница 312.

1230 Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:

а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см;

б) сторона ромба равна a и острый угол равен α.

а)

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр окружности. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен его высоте $h$. Таким образом, чтобы найти длину окружности, нам нужно найти высоту ромба.

Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами:

1. Через его диагонали $d_1$ и $d_2$: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
2. Через его сторону $a$ и высоту $h$: $S = a \cdot h$

Сначала найдем сторону ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, катетами которых являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба. Половины диагоналей равны $\frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{8}{2} = 4$ см. По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$: $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем площадь ромба, используя формулу с диагоналями: $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см$^2$.

Зная площадь и сторону, мы можем найти высоту ромба: $S = a \cdot h \implies h = \frac{S}{a}$ $h = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, то есть $d = h = 4,8$ см. Теперь можем найти длину окружности: $C = \pi d = 4,8\pi$ см.

Ответ: $4,8\pi$ см.

б)

Длина вписанной окружности $C = \pi d$, где ее диаметр $d$ равен высоте ромба $h$. Следовательно, нам нужно найти высоту ромба, зная его сторону $a$ и острый угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и проекцией другой стороны. Угол, противолежащий катету $h$, равен острому углу ромба $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем высоту ромба: $h = a \cdot \sin(\alpha)$

Так как диаметр вписанной окружности $d = h$, то $d = a \cdot \sin(\alpha)$. Длина окружности равна: $C = \pi d = \pi a \sin(\alpha)$.

Ответ: $\pi a \sin(\alpha)$.