Номер 1226, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1226, страница 311.

1226 Диагонали A₁A₄ и А₂A₇ правильного десятиугольника A₁A₂...A₁₀, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке B (рис. 356). Докажите, что:

а) А₂A₇ = 2R;

б) △А₁A₂В и △BA₄O — подобные равнобедренные треугольники;

в) А₁A₄ − А₁A₂ = R.

а) Правильный десятиугольник $A_1A_2...A_{10}$ вписан в окружность. Это означает, что все его вершины лежат на окружности и делят её на 10 равных дуг. Величина каждой такой дуги составляет $360^\circ / 10 = 36^\circ$.

Рассмотрим диагональ $A_2A_7$. Она стягивает дугу, состоящую из 5 равных дуг: $A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6, A_6A_7$.

Следовательно, градусная мера дуги $A_2A_7$ равна $5 \times 36^\circ = 180^\circ$.

Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Длина диаметра равна двум радиусам ($2R$).

Таким образом, $A_2A_7 = 2R$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Сначала докажем, что треугольник $\triangle A_1A_2B$ является равнобедренным. Для этого найдем его углы.

Угол $\angle A_2A_1B$ (он же $\angle A_2A_1A_4$) — вписанный и опирается на дугу $A_2A_4$. Эта дуга состоит из двух частей по $36^\circ$, поэтому её величина равна $2 \times 36^\circ = 72^\circ$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, значит $\angle A_2A_1B = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Угол $\angle A_1A_2B$ (он же $\angle A_1A_2A_7$) — вписанный и опирается на дугу $A_1A_7$. Кратчайшая дуга между $A_7$ и $A_1$ (через $A_8, A_9, A_{10}$) состоит из 4 частей по $36^\circ$, поэтому её величина равна $4 \times 36^\circ = 144^\circ$. Значит, $\angle A_1A_2B = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.

Третий угол треугольника $\triangle A_1A_2B$ равен $\angle A_1BA_2 = 180^\circ - (\angle A_2A_1B + \angle A_1A_2B) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$.

Поскольку $\angle A_1A_2B = \angle A_1BA_2 = 72^\circ$, треугольник $\triangle A_1A_2B$ равнобедренный.

Теперь докажем, что треугольник $\triangle BA_4O$ является равнобедренным и подобным $\triangle A_1A_2B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_4$. Он равнобедренный, так как $OA_1 = OA_4 = R$. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ опирается на дугу $A_1A_4$, состоящую из 3 частей, и равен $3 \times 36^\circ = 108^\circ$. Углы при основании равны: $\angle OA_1A_4 = \angle OA_4A_1 = (180^\circ - 108^\circ)/2 = 36^\circ$. Значит, $\angle BA_4O = \angle A_1A_4O = 36^\circ$.

Угол $\angle BOA_4$ — это угол между отрезками $OB$ и $OA_4$. Точка $B$ лежит на диаметре $A_2A_7$, как и центр $O$. Рассмотрим центральный угол $\angle A_2OA_4$. Он опирается на дугу $A_2A_4$, состоящую из 2 частей, и равен $2 \times 36^\circ = 72^\circ$. Из расположения точек следует, что $B$ находится между $O$ и $A_2$, поэтому луч $OB$ совпадает с лучом $OA_2$. Таким образом, $\angle BOA_4 = \angle A_2OA_4 = 72^\circ$.

Третий угол треугольника $\triangle BA_4O$ равен $\angle OBA_4 = 180^\circ - (\angle BA_4O + \angle BOA_4) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$.

Поскольку $\angle BOA_4 = \angle OBA_4 = 72^\circ$, треугольник $\triangle BA_4O$ также равнобедренный.

Углы треугольника $\triangle A_1A_2B$ равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$. Углы треугольника $\triangle BA_4O$ также равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$. Следовательно, эти треугольники подобны по трём углам.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Из доказательства в пункте б) мы знаем, что $\triangle A_1A_2B$ и $\triangle BA_4O$ — равнобедренные треугольники.

В $\triangle A_1A_2B$ равны углы при вершинах $A_2$ и $B$, следовательно, равны противолежащие им стороны: $A_1B = A_1A_2$.

В $\triangle BA_4O$ равны углы при вершинах $O$ и $B$, следовательно, равны противолежащие им стороны: $BA_4 = OA_4$.

Так как $OA_4$ является радиусом описанной окружности, $OA_4 = R$. Отсюда следует, что $BA_4 = R$.

Точка $B$ является точкой пересечения диагоналей $A_1A_4$ и $A_2A_7$, поэтому она лежит на отрезке $A_1A_4$. Длина этого отрезка равна сумме длин его частей: $A_1A_4 = A_1B + BA_4$.

Подставим найденные равенства в это выражение:

$A_1A_4 = A_1A_2 + R$

Перенеся $A_1A_2$ в левую часть, получим:

$A_1A_4 - A_1A_2 = R$

Ответ: Что и требовалось доказать.