Номер 15, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 15, страница 311.

15 Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

Что такое круговой сектор?

Круговой сектор — это часть круга, которая ограничена двумя его радиусами и дугой между этими радиусами. Если представить круг как пиццу, то один кусок пиццы является наглядным примером кругового сектора. Два прямых разреза — это радиусы, а внешняя часть с корочкой — это дуга. Угол, образованный двумя радиусами в центре круга, называется центральным углом сектора.

Ответ: Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, которые соединяют концы этой дуги с центром круга.

Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

Вывод формулы для площади кругового сектора основан на том, что его площадь прямо пропорциональна величине его центрального угла. Мы можем использовать площадь всего круга как отправную точку.

Площадь всего круга с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Полный круг соответствует центральному углу в $360^\circ$ или $2\pi$ радиан.

1. Вывод формулы, если угол задан в градусах.

Сначала найдем площадь сектора, который соответствует центральному углу в $1^\circ$. Эта площадь будет составлять $\frac{1}{360}$ от общей площади круга: $S_{1^\circ} = \frac{S_{круга}}{360} = \frac{\pi R^2}{360}$.

Соответственно, площадь сектора с центральным углом $\alpha$, измеряемым в градусах, будет в $\alpha$ раз больше площади сектора в $1^\circ$: $S_{сектора} = S_{1^\circ} \cdot \alpha = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha$.

2. Вывод формулы, если угол задан в радианах.

Аналогично, если центральный угол $\alpha$ измеряется в радианах, мы знаем, что полный угол круга равен $2\pi$ радиан. Найдем площадь сектора, соответствующего углу в 1 радиан, разделив общую площадь на $2\pi$: $S_{1\text{ рад}} = \frac{S_{круга}}{2\pi} = \frac{\pi R^2}{2\pi} = \frac{R^2}{2}$.

Тогда площадь сектора с центральным углом $\alpha$ в радианах вычисляется как: $S_{сектора} = S_{1\text{ рад}} \cdot \alpha = \frac{R^2}{2} \cdot \alpha = \frac{1}{2}\alpha R^2$.

3. Вывод формулы через длину дуги.

Существует также полезная формула, которая связывает площадь сектора с длиной его дуги $L$. Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом $R$ определяется как $L = \alpha R$. Из этой формулы мы можем выразить угол: $\alpha = \frac{L}{R}$. Теперь подставим это выражение для $\alpha$ в радианную формулу для площади: $S_{сектора} = \frac{1}{2}\alpha R^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{L}{R}\right) R^2 = \frac{1}{2}LR$.

Ответ: Формулы для вычисления площади $S$ кругового сектора с радиусом $R$:
- если центральный угол $\alpha$ дан в градусах: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$
- если центральный угол $\alpha$ дан в радианах: $S = \frac{1}{2} \alpha R^2$
- если известна длина дуги $L$: $S = \frac{1}{2}LR$