Номер 8, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 8, страница 310.

8 Выведите формулу для вычисления длины окружности, используя её градусную меру.

Для вывода формулы длины окружности, используя ее градусную меру, будем исходить из того, что длина дуги окружности прямо пропорциональна ее градусной мере. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$.

Запишем известную формулу для вычисления длины дуги $l$, которой соответствует центральный угол $\alpha$ (измеряемый в градусах), для окружности радиусом $R$:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Используя эту формулу, найдем длину дуги, которая соответствует углу в $1^\circ$. Для этого подставим в формулу значение $\alpha = 1^\circ$:

$l_{1^\circ} = \frac{\pi R \cdot 1^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi R}{180}$

Поскольку полная окружность имеет градусную меру $360^\circ$, ее длина $C$ будет равна длине дуги в $1^\circ$, умноженной на 360:

$C = 360 \cdot l_{1^\circ}$

Теперь подставим в это выражение найденное значение для $l_{1^\circ}$:

$C = 360 \cdot \frac{\pi R}{180}$

Выполним вычисления, сократив дробь:

$C = \frac{360}{180} \cdot \pi R$

$C = 2 \pi R$

Таким образом, мы получили стандартную формулу для вычисления длины окружности. Эта формула была выведена с использованием градусной меры полной окружности ($360^\circ$), показав, что длина окружности является частным случаем длины дуги при угле, равном $360^\circ$.

Ответ: Формула для вычисления длины окружности $C$ радиусом $R$, выведенная с использованием ее градусной меры, имеет вид $C = 2 \pi R$.