Номер 7, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 7, страница 310.

7 Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности?

Для нахождения стороны правильного n-угольника ($a_n$), вписанного в окружность радиуса $R$, используется общая формула, которая выводится из рассмотрения равнобедренного треугольника с вершиной в центре окружности и основанием, равным стороне многоугольника. Центральный угол этого треугольника равен $\frac{360^\circ}{n}$. Формула для стороны имеет вид:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Применим эту формулу для каждого из заданных многоугольников.

Правильный треугольник

Для правильного треугольника (равностороннего) число сторон $n=3$. Подставляем это значение в общую формулу:

$a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса 60 градусов равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда:

$a_3 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Следовательно, сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как $R\sqrt{3}$.

Ответ: $a_3 = R\sqrt{3}$

Квадрат

Для квадрата число сторон $n=4$. Подставляем $n=4$ в формулу:

$a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ)$

Значение синуса 45 градусов равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем:

$a_4 = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$

Этот результат можно также получить, заметив, что диагональ вписанного квадрата равна диаметру описанной окружности, то есть $d = 2R$. С другой стороны, по теореме Пифагора, диагональ квадрата со стороной $a_4$ равна $d = a_4\sqrt{2}$. Приравнивая выражения для диагонали, получаем $a_4\sqrt{2} = 2R$, откуда $a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Ответ: $a_4 = R\sqrt{2}$

Правильный шестиугольник

Для правильного шестиугольника число сторон $n=6$. Подставляем $n=6$ в формулу:

$a_6 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2R \sin(30^\circ)$

Значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$. Тогда сторона шестиугольника равна:

$a_6 = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Это означает, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, всегда равна радиусу этой окружности. Это следует из того, что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу $R$, а их основания являются сторонами шестиугольника.

Ответ: $a_6 = R$