Номер 11, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 11, страница 310.

11 Какой угол называется углом в 1 радиан?

Радиан — это стандартная единица измерения плоских углов, широко используемая в математике, физике и инженерии. Определение радиана основано на свойствах окружности.

Углом в 1 радиан называется центральный угол, который опирается на дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Чтобы лучше это представить, рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом r. Возьмем на окружности дугу AB. Если длина этой дуги l равна радиусу r (т.е. $l = r$), то величина центрального угла AOB, который опирается на эту дугу, по определению равна одному радиану.

В общем случае, радианная мера любого центрального угла $\alpha$ определяется как отношение длины дуги $l$, на которую он опирается, к радиусу окружности $r$:

$\alpha_{\text{рад}} = \frac{l}{r}$

Из этой формулы следует, что если $l = r$, то $\alpha = \frac{r}{r} = 1$ радиан. Так как и длина дуги, и радиус измеряются в одних и тех же единицах длины (например, метрах), радиан является безразмерной величиной.

Для установления связи между радианами и градусами, вспомним, что длина всей окружности равна $C = 2\pi r$. Полный угол в $360^\circ$ опирается на всю окружность. Его радианная мера равна:

$\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ радиан

Таким образом, мы имеем фундаментальное соотношение:

$360^\circ = 2\pi$ радиан

Разделив обе части на 2, получим более удобное для запоминания равенство:

$180^\circ = \pi$ радиан

Из этого соотношения можно найти приближенное значение одного радиана в градусах:

$1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx \frac{180^\circ}{3.14159} \approx 57.2958^\circ$ или примерно $57^\circ17'45''$.

Ответ: Углом в 1 радиан называется центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.