Номер 4, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 4, страница 310.

4 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Формулировка теоремы

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника и совпадает с центром описанной окружности.

Доказательство

Пусть дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. По определению, у него все стороны равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$) и все углы равны ($\angle A_1 = \angle A_2 = ... = \angle A_n$). Доказательство состоит из трех частей: доказательство существования центра, доказательство существования вписанной окружности и доказательство ее единственности.

1. Существование центра многоугольника

Проведем биссектрисы двух соседних углов $\angle A_1$ и $\angle A_2$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_2$. Так как $O$ лежит на биссектрисах, то $\angle OA_1A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1$ и $\angle OA_2A_1 = \frac{1}{2}\angle A_2$. Поскольку в правильном многоугольнике $\angle A_1 = \angle A_2$, то и половины этих углов равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$.

Следовательно, треугольник $\triangle A_1OA_2$ является равнобедренным с основанием $A_1A_2$, и его боковые стороны равны: $OA_1 = OA_2$.

Теперь соединим точку $O$ с вершиной $A_3$ и сравним треугольники $\triangle A_1OA_2$ и $\triangle A_3OA_2$.

1) $A_1A_2 = A_3A_2$ (как стороны правильного многоугольника).
2) $OA_2$ — общая сторона.
3) $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$, так как по построению луч $A_2O$ является биссектрисой угла $\angle A_1A_2A_3$ (или $\angle A_2$).

Таким образом, $\triangle A_1OA_2 \cong \triangle A_3OA_2$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $OA_1 = OA_3$ и $\angle OA_1A_2 = \angle OA_3A_2$.

Так как мы уже доказали, что $OA_1 = OA_2$, то теперь имеем $OA_1 = OA_2 = OA_3$. Также, поскольку $\angle OA_1A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1$, то и $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1$. А так как в правильном многоугольнике $\angle A_1 = \angle A_3$, то $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_3$. Это означает, что луч $A_3O$ является биссектрисой угла $\angle A_3$.

Повторяя это рассуждение для следующих вершин ($A_4, A_5, ..., A_n$), мы докажем, что все биссектрисы углов многоугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка $O$ называется центром правильного многоугольника.

2. Существование вписанной окружности

Мы установили, что точка $O$ является общей точкой для всех биссектрис углов многоугольника. По свойству биссектрисы угла, любая ее точка равноудалена от сторон угла. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_1$, она равноудалена от сторон $A_nA_1$ и $A_1A_2$. Так как она лежит на биссектрисе угла $\angle A_2$, она равноудалена от сторон $A_1A_2$ и $A_2A_3$, и так далее.

Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OH_1, OH_2, ..., OH_n$ на стороны $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ соответственно. Длины этих перпендикуляров равны: $OH_1 = OH_2 = ... = OH_n$.

Обозначим это расстояние через $r$. Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ будет касаться всех сторон многоугольника в точках $H_1, H_2, ..., H_n$. По определению, эта окружность является вписанной в многоугольник.

3. Единственность

Предположим, что существует другая вписанная окружность. Ее центр должен быть равноудален от всех сторон многоугольника. Точки, равноудаленные от двух пересекающихся прямых (сторон угла), лежат на биссектрисе этого угла. Следовательно, центр любой вписанной окружности должен лежать на биссектрисе каждого угла многоугольника. Так как все биссектрисы пересекаются в единственной точке $O$, то центр вписанной окружности может быть только в этой точке. Радиус вписанной окружности однозначно определяется как расстояние от точки $O$ до любой из сторон многоугольника. Таким образом, вписанная окружность единственна.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник, гласит: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём сделать это можно единственным образом. Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника.