Номер 1217, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1217, страница 309.

1217 Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.

Чтобы найти площадь оставшейся части круга, нужно из общей площади круга вычесть площадь вырезанного сектора. Другой способ — найти градусную меру оставшейся части круга и вычислить её площадь как площадь сектора.

Решение первым способом:

1. Сначала найдем площадь всего круга. Формула площади круга: $S_{круга} = \pi R^2$, где $R$ — это радиус.
По условию задачи, радиус $R = 10$ см.
Подставляем значение в формулу:
$S_{круга} = \pi \cdot (10)^2 = 100\pi$ см$^2$.

2. Теперь найдем площадь вырезанного сектора. Формула площади сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — центральный угол сектора.
По условию, угол дуги сектора $\alpha = 60^\circ$.
Подставляем известные значения в формулу:
$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot (10)^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{100\pi \cdot 60}{360} = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}$ см$^2$.

3. Наконец, найдем площадь оставшейся части круга, вычтя площадь сектора из общей площади круга:
$S_{ост} = S_{круга} - S_{сектора} = 100\pi - \frac{50\pi}{3}$.
Приведем к общему знаменателю 3:
$S_{ост} = \frac{3 \cdot 100\pi}{3} - \frac{50\pi}{3} = \frac{300\pi - 50\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$ см$^2$.

Решение вторым способом:

1. Найдем угловую меру оставшейся части круга. Полный круг составляет $360^\circ$.
$360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

2. Найдем площадь оставшейся части как площадь сектора с углом $300^\circ$.
$S_{ост} = \frac{\pi R^2 \alpha_{ост}}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot (10)^2 \cdot 300^\circ}{360^\circ} = \frac{100\pi \cdot 300}{360} = 100\pi \cdot \frac{5}{6} = \frac{500\pi}{6} = \frac{250\pi}{3}$ см$^2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{250\pi}{3}$ см$^2$.