Номер 1216, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1216, страница 309.

1216 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой, длина которой равна $c$. Согласно теореме Пифагора, для сторон этого треугольника выполняется следующее соотношение:
$a^2 + b^2 = c^2$

На каждой из сторон треугольника построен полукруг, причем сторона является диаметром этого полукруга. Выразим площади этих полукругов через длины сторон треугольника.

Общая формула площади круга с радиусом $r$ — это $S_{круга} = \pi r^2$. Соответственно, площадь полукруга равна $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$. Поскольку стороны треугольника являются диаметрами ($d$) полукругов, их радиусы будут равны половине длины соответствующей стороны: $r = \frac{d}{2}$.
Тогда площадь полукруга с диаметром $d$ можно выразить как:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8}$

Теперь найдем площади каждого из трех полукругов:
1. Площадь полукруга, построенного на катете $a$, обозначим как $S_a$. Его диаметр равен $a$.
$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$
2. Площадь полукруга, построенного на катете $b$, обозначим как $S_b$. Его диаметр равен $b$.
$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$
3. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$, обозначим как $S_c$. Его диаметр равен $c$.
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Нам нужно доказать, что площадь полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах, то есть:
$S_c = S_a + S_b$

Подставим в это равенство полученные нами выражения для площадей:
$\frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

В правой части равенства вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:
$\frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi}{8} (a^2 + b^2)$

Теперь мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{\pi}{8}$:
$c^2 = a^2 + b^2$

Мы получили равенство, которое является математической записью теоремы Пифагора. Поскольку это равенство верно для любого прямоугольного треугольника, а все наши преобразования были равносильными, то и исходное утверждение о равенстве площадей также верно.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах.