Номер 1214, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1214, страница 309.

1214 Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

Для того чтобы найти площадь оставшейся части круга, необходимо из площади исходного круга вычесть площадь вырезанного из него квадрата. Обозначим искомую площадь как $S_{ост}$.

1. Сначала найдем площадь круга. Площадь круга ($S_{круга}$) с радиусом $r$ вычисляется по известной формуле:

$S_{круга} = \pi r^2$

2. Далее найдем площадь вписанного квадрата ($S_{квадрата}$). Поскольку квадрат вписан в окружность, его диагональ ($d$) совпадает с диаметром окружности. Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно, $d = 2r$.

Площадь квадрата можно выразить через его диагональ. Если сторона квадрата равна $a$, то по теореме Пифагора $a^2 + a^2 = d^2$, откуда $2a^2 = d^2$. Площадь квадрата $S_{квадрата} = a^2$, значит $S_{квадрата} = \frac{d^2}{2}$.

Подставим в эту формулу значение диагонали $d = 2r$:

$S_{квадрата} = \frac{(2r)^2}{2} = \frac{4r^2}{2} = 2r^2$

3. Теперь вычислим площадь оставшейся части круга, вычтя площадь квадрата из площади круга:

$S_{ост} = S_{круга} - S_{квадрата} = \pi r^2 - 2r^2$

Для получения окончательного ответа вынесем общий множитель $r^2$ за скобки:

$S_{ост} = r^2(\pi - 2)$

Ответ: $r^2(\pi - 2)$