Номер 1207, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. 121. Площадь кругового сектора - номер 1207, страница 309.

Условие.

1207 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

а)

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга. Для круга, описанного около прямоугольника, диаметр круга равен диагонали прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Найдем его диагональ $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Теперь можем найти площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}$

Ответ: $\frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}$

б)

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус $R$ равен половине гипотенузы. Пусть дан катет $a$ и противолежащий ему угол $\alpha$. Гипотенузу $c$ можно найти из определения синуса:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Отсюда гипотенуза $c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$.

Также можно использовать обобщенную теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R$

Из этого соотношения выразим радиус:

$R = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$

Площадь круга $S$ равна:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha)}$

в)

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием $a$ и высотой $h$, проведенной к основанию, воспользуемся общей формулой для радиуса описанной окружности $R = \frac{xyz}{4K}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $K$ — его площадь.

Пусть боковая сторона треугольника равна $b$. Высота $h$ делит основание $a$ на два отрезка по $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной, имеем:

$b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

Площадь треугольника $K$ равна:

$K = \frac{1}{2}ah$

Теперь подставим стороны ($a, b, b$) и площадь $K$ в формулу для радиуса:

$R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4K} = \frac{ab^2}{4 \cdot \frac{1}{2}ah} = \frac{ab^2}{2ah} = \frac{b^2}{2h}$

Заменим $b^2$ на ранее найденное выражение:

$R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}$

Найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a^2 + 4h^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$

Ответ: $\frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$