Номер 1206, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. 121. Площадь кругового сектора - номер 1206, страница 309.

Условие.

1206 Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ — это площадь круга, а $r$ — его радиус. Мы проанализируем, как изменение радиуса $r$ влияет на площадь $S$.

а)

Пусть первоначальный радиус круга равен $r_1$, а соответствующая ему площадь равна $S_1 = \pi r_1^2$. Согласно условию, радиус увеличивают в $k$ раз. Новый радиус $r_2$ будет равен: $r_2 = k \cdot r_1$.

Теперь вычислим новую площадь круга $S_2$, используя новый радиус $r_2$: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (k \cdot r_1)^2 = \pi \cdot k^2 \cdot r_1^2$.

Чтобы найти, как изменилась площадь, сравним $S_2$ с $S_1$. Мы можем переписать выражение для $S_2$, подставив $S_1$: $S_2 = k^2 \cdot (\pi r_1^2) = k^2 \cdot S_1$.

Из этого соотношения видно, что новая площадь в $k^2$ раз больше первоначальной.

Ответ: увеличится в $k^2$ раз.

б)

Пусть, как и в предыдущем пункте, первоначальный радиус равен $r_1$, а площадь — $S_1 = \pi r_1^2$. Согласно условию, радиус уменьшают в $k$ раз. Новый радиус $r_2$ будет равен: $r_2 = \frac{r_1}{k}$.

Вычислим новую площадь круга $S_2$ с радиусом $r_2$: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{k}\right)^2 = \frac{\pi \cdot r_1^2}{k^2}$.

Теперь сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$: $S_2 = \frac{1}{k^2} \cdot (\pi r_1^2) = \frac{S_1}{k^2}$.

Это соотношение показывает, что новая площадь в $k^2$ раз меньше первоначальной.

Ответ: уменьшится в $k^2$ раз.