Номер 1208, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1208, страница 309.

1208 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с бо́льшим основанием a и острым углом α.

а) Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi r^2$, где $r$ – радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, а ее радиус составляет одну треть от высоты треугольника: $r = \frac{1}{3}h$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по теореме Пифагора и равна $h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, радиус вписанной окружности: $r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь можем найти площадь вписанного круга: $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2}{12}$

б) Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся свойством биссектрисы угла.

Пусть катет $AC=a$ и угол $\angle A = \alpha$. Центр вписанной окружности $I$ лежит на биссектрисе угла $A$. Опустим из центра $I$ перпендикуляр $IP$ на катет $AC$. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $r$. Отрезок $AP$ равен $a-r$. В прямоугольном треугольнике $AIP$ угол $\angle IAP = \alpha/2$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AIP$ имеем: $\tan(\angle IAP) = \frac{IP}{AP}$, то есть $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a-r}$.

Выразим $r$ из этого уравнения:
$r = (a-r)\tan(\frac{\alpha}{2})$
$r = a\tan(\frac{\alpha}{2}) - r\tan(\frac{\alpha}{2})$
$r(1 + \tan(\frac{\alpha}{2})) = a\tan(\frac{\alpha}{2})$
$r = \frac{a \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan(\frac{\alpha}{2})}$

Площадь вписанного круга равна $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = \frac{\pi a^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{(1 + \tan(\frac{\alpha}{2}))^2}$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{(1 + \tan(\frac{\alpha}{2}))^2}$

в) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине (противолежащим основанию) радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot a \sin(\alpha) = \frac{1}{2}a^2\sin(\alpha)$.

Основание треугольника $b$ найдем по теореме косинусов: $b = \sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos(\alpha)} = \sqrt{2a^2(1-\cos\alpha)} = \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Полупериметр: $p = \frac{a+a+b}{2} = a + \frac{b}{2} = a + a\sin(\frac{\alpha}{2}) = a(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}a^2\sin(\alpha)}{a(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a \sin(\alpha)}{2(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:
$r = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Площадь круга $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))^2}$.
Упростим, используя $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = (1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$:
$S_{кр} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))^2} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}$

г) В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, ее диаметр равен высоте трапеции $h$. Таким образом, радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2}$.

Пусть дано большее основание $a$ и острый угол при основании $\alpha$. Обозначим меньшее основание $b$, боковую сторону $c$. Проведем высоту $h$ из вершины при меньшем основании. Она образует прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$, катетом $h$ и вторым катетом $x = \frac{a-b}{2}$.

Из этого треугольника $h = c\sin(\alpha)$ и $x = c\cos(\alpha)$. Условие вписанной окружности для трапеции: $a+b=2c$.

Из $x = \frac{a-b}{2}$ выразим $b = a - 2x$. Подставим в условие $a+b=2c$:
$a + (a-2x) = 2c \Rightarrow 2a - 2x = 2c \Rightarrow a-x=c$.

Подставим сюда $x = c\cos(\alpha)$: $a - c\cos(\alpha) = c \Rightarrow a = c(1+\cos\alpha)$.
Отсюда боковая сторона $c = \frac{a}{1+\cos\alpha}$.

Найдем высоту трапеции: $h = c\sin(\alpha) = \frac{a\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$.
Упростим, используя формулы половинного угла $\sin\alpha=2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1+\cos\alpha=2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$:
$h = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = a\frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = a\tan(\frac{\alpha}{2})$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\tan(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь круга: $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\tan(\frac{\alpha}{2})\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2}{4}\tan^2(\frac{\alpha}{2})$