Номер 1211, страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1211, страница 309.

1211 Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R₁ и R₂, R₁ < R₂. Вычислите площадь кольца, если R₁ = 1,5 см, R₂ = 2,5 см.

Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами $R_1$ и $R_2$, $R_1 < R_2$.
Площадь кольца определяется как разность площадей большего круга (с радиусом $R_2$) и меньшего круга (с радиусом $R_1$). Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Площадь большего круга, $S_2$, равна $S_2 = \pi R_2^2$.
Площадь меньшего круга, $S_1$, равна $S_1 = \pi R_1^2$.
Следовательно, площадь кольца, $S_{кольца}$, равна:
$S_{кольца} = S_2 - S_1 = \pi R_2^2 - \pi R_1^2$
Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:
$S_{кольца} = \pi(R_2^2 - R_1^2)$
Ответ: $S_{кольца} = \pi(R_2^2 - R_1^2)$.

Вычислите площадь кольца, если $R_1=1,5$ см, $R_2=2,5$ см.
Используем выведенную выше формулу и подставим в нее заданные значения радиусов:
$S_{кольца} = \pi((2,5)^2 - (1,5)^2)$
Вычислим значения квадратов радиусов:
$(2,5)^2 = 6,25$
$(1,5)^2 = 2,25$
Подставим эти значения обратно в формулу:
$S_{кольца} = \pi(6,25 - 2,25) = \pi \cdot 4 = 4\pi$
Для вычисления также можно было использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$S_{кольца} = \pi(R_2 - R_1)(R_2 + R_1) = \pi(2,5 - 1,5)(2,5 + 1,5) = \pi \cdot 1 \cdot 4 = 4\pi$
Площадь измеряется в квадратных сантиметрах.
Ответ: $4\pi$ см$^2$.