Номер 1219, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. 121. Площадь кругового сектора - номер 1219, страница 310.

Условие.

1219 Сторона квадрата, изображённого на рисунке 354, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность между площадью всего квадрата и площадью центральной незакрашенной (белой) фигуры.

1. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = a^2$

2. Анализ фигуры. Фигура на рисунке образована путем наложения четырех круговых секторов. Из каждой вершины квадрата как из центра проведен сектор (четверть круга) с радиусом, равным стороне квадрата $a$.

• Центральная белая фигура — это область пересечения всех четырех секторов.
• Каждая из четырех закрашенных угловых фигур — это область, принадлежащая ровно двум секторам.

3. Метод сложения площадей. Обозначим искомую площадь закрашенной фигуры как $S_{закр}$, а площадь белой фигуры — как $S_{бел}$. Сумма их площадей равна площади квадрата:

$S_{закр} + S_{бел} = a^2$ (1)

Площадь одного сектора (четверти круга радиусом $a$) равна $S_{сектора} = \frac{1}{4}\pi a^2$. Сумма площадей четырех таких секторов составляет:

$S_{4 \cdot сект} = 4 \times \frac{1}{4}\pi a^2 = \pi a^2$

При сложении площадей этих четырех секторов, каждая закрашенная область оказывается покрытой дважды, а центральная белая область — четырежды. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$2 \cdot S_{закр} + 4 \cdot S_{бел} = \pi a^2$ (2)

4. Решение системы уравнений. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее, чтобы найти $S_{закр}$.

Из уравнения (1) выразим $S_{бел}$:

$S_{бел} = a^2 - S_{закр}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$2S_{закр} + 4(a^2 - S_{закр}) = \pi a^2$

Раскроем скобки:

$2S_{закр} + 4a^2 - 4S_{закр} = \pi a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - 2S_{закр} = \pi a^2$

Выразим $2S_{закр}$:

$2S_{закр} = 4a^2 - \pi a^2$

Наконец, найдем искомую площадь $S_{закр}$:

$S_{закр} = \frac{4a^2 - \pi a^2}{2} = a^2 \cdot \frac{4 - \pi}{2} = a^2\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$

Ответ: $a^2\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$.