Номер 1219, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1219, страница 310.

1219 Сторона квадрата, изображённого на рисунке 354, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность между площадью всего квадрата и площадью центральной незакрашенной (белой) фигуры.

1. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = a^2$

2. Анализ фигуры. Фигура на рисунке образована путем наложения четырех круговых секторов. Из каждой вершины квадрата как из центра проведен сектор (четверть круга) с радиусом, равным стороне квадрата $a$.

• Центральная белая фигура — это область пересечения всех четырех секторов.
• Каждая из четырех закрашенных угловых фигур — это область, принадлежащая ровно двум секторам.

3. Метод сложения площадей. Обозначим искомую площадь закрашенной фигуры как $S_{закр}$, а площадь белой фигуры — как $S_{бел}$. Сумма их площадей равна площади квадрата:

$S_{закр} + S_{бел} = a^2$ (1)

Площадь одного сектора (четверти круга радиусом $a$) равна $S_{сектора} = \frac{1}{4}\pi a^2$. Сумма площадей четырех таких секторов составляет:

$S_{4 \cdot сект} = 4 \times \frac{1}{4}\pi a^2 = \pi a^2$

При сложении площадей этих четырех секторов, каждая закрашенная область оказывается покрытой дважды, а центральная белая область — четырежды. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$2 \cdot S_{закр} + 4 \cdot S_{бел} = \pi a^2$ (2)

4. Решение системы уравнений. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее, чтобы найти $S_{закр}$.

Из уравнения (1) выразим $S_{бел}$:

$S_{бел} = a^2 - S_{закр}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$2S_{закр} + 4(a^2 - S_{закр}) = \pi a^2$

Раскроем скобки:

$2S_{закр} + 4a^2 - 4S_{закр} = \pi a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - 2S_{закр} = \pi a^2$

Выразим $2S_{закр}$:

$2S_{закр} = 4a^2 - \pi a^2$

Наконец, найдем искомую площадь $S_{закр}$:

$S_{закр} = \frac{4a^2 - \pi a^2}{2} = a^2 \cdot \frac{4 - \pi}{2} = a^2\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$

Ответ: $a^2\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$.