Номер 5, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 5, страница 310.

5 Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

5 Рассмотрим правильный n-угольник. Его можно разбить на n равных равнобедренных треугольников, соединив центр многоугольника с его вершинами. Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной в него окружности.

Основанием каждого из этих треугольников является сторона многоугольника. Обозначим длину стороны как $a$.

Высота каждого треугольника, проведенная из центра к стороне, является радиусом вписанной окружности. Обозначим этот радиус как $r$. Эта высота перпендикулярна стороне многоугольника (основанию треугольника), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле площади треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

Поскольку правильный n-угольник состоит из n таких равных треугольников, его общая площадь ($S$) равна сумме площадей этих треугольников: $S = n \cdot S_{\triangle} = n \cdot \left(\frac{1}{2} a \cdot r\right) = \frac{1}{2} (n \cdot a) \cdot r$

Периметр ($P$) правильного n-угольника — это сумма длин всех его сторон. Так как все $n$ сторон равны $a$, периметр вычисляется как: $P = n \cdot a$

Теперь подставим выражение для периметра $P$ в полученную формулу для площади многоугольника $S$: $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$

Таким образом, площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: $S = \frac{1}{2}Pr$, где $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — его периметр, $r$ — радиус вписанной окружности.