Номер 2, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 2, страница 310.

2 Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

Для вывода формулы для вычисления величины внутреннего угла правильного n-угольника существует несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Первый подход основан на известной теореме о сумме углов выпуклого многоугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника (где $n$ — число сторон) равна $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$. Это следует из того, что любой n-угольник можно разбить на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Правильный n-угольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Следовательно, все его $n$ углов имеют одинаковую величину. Обозначим эту величину через $\alpha_n$. Чтобы найти значение одного угла, нужно общую сумму углов разделить на их количество:$\alpha_n = \frac{S_n}{n} = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$.

Второй подход использует центр описанной окружности правильного n-угольника. Если соединить центр со всеми вершинами, многоугольник разделится на $n$ равных равнобедренных треугольников. Угол при вершине каждого такого треугольника, расположенной в центре окружности, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Два других угла при основании этого треугольника равны между собой, и их сумма составляет $180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$. Следовательно, каждый угол при основании равен $\frac{1}{2}\left(180^\circ - \frac{360^\circ}{n}\right) = 90^\circ - \frac{180^\circ}{n}$. Внутренний угол правильного n-угольника $\alpha_n$ складывается из двух таких углов при основании смежных треугольников. Таким образом, получаем:$\alpha_n = 2 \cdot \left(90^\circ - \frac{180^\circ}{n}\right) = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$.

Обе полученные формулы эквивалентны и позволяют вычислить угол правильного n-угольника при $n \ge 3$.

Ответ: $\alpha_n = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$ или $\alpha_n = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$.