Номер 3, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 3, страница 310.

3 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Формулировка теоремы

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Доказательство теоремы можно разделить на две части: доказательство существования описанной окружности и доказательство ее единственности.

1. Существование.

Пусть дан правильный $n$-угольник $A_1A_2...A_n$. По определению, у него все стороны равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$) и все внутренние углы равны ($\angle A_1 = \angle A_2 = ... = \angle A_n$).

Рассмотрим три последовательные вершины многоугольника: $A_1, A_2, A_3$. Поскольку для $n \ge 3$ эти точки не лежат на одной прямой, через них можно провести окружность, и притом только одну. Пусть O — центр этой окружности. По определению, точка O равноудалена от этих трех вершин: $OA_1 = OA_2 = OA_3$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$. В этих треугольниках сторона $OA_2$ — общая, $OA_1 = OA_3$ (поскольку оба отрезка равны $OA_2$), и $A_1A_2 = A_2A_3$ (как стороны правильного многоугольника). Следовательно, $\triangle OA_1A_2 \cong \triangle OA_2A_3$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$. Это означает, что луч $OA_2$ является биссектрисой угла $\angle A_2$ многоугольника. Также из равенства треугольников следует, что $\angle OA_3A_2 = \angle OA_1A_2$.

Теперь докажем, что следующая вершина, $A_4$, также лежит на этой окружности, то есть что $OA_4$ равно радиусу окружности (например, $OA_3$). Для этого сравним треугольники $\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$. В них: сторона $A_2A_3$ равна стороне $A_3A_4$ (как стороны правильного многоугольника), сторона $OA_3$ — общая. Рассмотрим углы $\angle OA_3A_2$ и $\angle OA_3A_4$. Углы многоугольника $\angle A_2$ и $\angle A_3$ равны. Из равнобедренного треугольника $\triangle OA_2A_3$ ($OA_2=OA_3$) следует, что $\angle OA_3A_2 = \angle OA_2A_3$. А так как $OA_2$ — биссектриса $\angle A_2$, то $\angle OA_2A_3 = \frac{1}{2}\angle A_2$. Значит, $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_2 = \frac{1}{2}\angle A_3$. Это доказывает, что $OA_3$ — биссектриса угла $\angle A_3$, а значит $\angle OA_3A_2 = \angle OA_3A_4$. Таким образом, треугольники $\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$ равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства $\triangle OA_2A_3 \cong \triangle OA_3A_4$ следует, что $OA_4 = OA_2$. Но так как $OA_1 = OA_2 = OA_3$, то и $OA_4$ равно им. Таким образом, вершина $A_4$ лежит на той же окружности.

Проводя аналогичные рассуждения последовательно для всех вершин ($A_5, A_6, ..., A_n$), мы докажем, что все они равноудалены от точки O. Следовательно, все вершины правильного многоугольника лежат на окружности с центром O, что и доказывает существование описанной окружности.

2. Единственность.

Предположим, что существует другая окружность, описанная около того же многоугольника $A_1A_2...A_n$. По определению, она также должна проходить через все его вершины, в том числе через $A_1, A_2$ и $A_3$. Как известно, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна окружность. Следовательно, любая описанная окружность должна совпадать с той, что мы построили. Это доказывает ее единственность.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: Теорема гласит, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Существование такой окружности доказывается путем построения окружности по трем вершинам и последовательного доказательства того, что все остальные вершины также лежат на этой окружности. Единственность следует из того, что положение окружности однозначно определяется любыми тремя ее точками (вершинами многоугольника).