Номер 6, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 6, страница 310.

6 Выведите формулы для вычисления стороны правильного n-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности.

Для вывода искомых формул рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность. Введем следующие обозначения:
$R$ – радиус описанной окружности;
$r_n$ – радиус вписанной окружности;
$a_n$ – длина стороны правильного n-угольника;
$n$ – число сторон многоугольника.

Соединим центр окружности $O$ с двумя соседними вершинами многоугольника, $A$ и $B$. В результате образуется равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором боковые стороны $OA = OB = R$, а основание $AB = a_n$. Центральный угол $\angle AOB$, который опирается на сторону $a_n$, вычисляется как $\frac{360^\circ}{n}$.

Сторона правильного n-угольника

Чтобы найти длину стороны $a_n$, проведем в треугольнике $\triangle AOB$ высоту $OH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что $H$ – середина стороны $AB$ (то есть $AH = \frac{a_n}{2}$), и $OH$ делит угол $\angle AOB$ пополам (то есть $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \frac{360^\circ}{n} = \frac{180^\circ}{n}$).Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$. По определению синуса, $\sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA}$.Подставив известные величины, получим:$\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{a_n/2}{R}$.Теперь выразим $a_n$ из этого уравнения:$\frac{a_n}{2} = R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$,откуда следует, что $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Ответ: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Радиус вписанной в него окружности

Радиус $r_n$ вписанной в правильный n-угольник окружности равен апофеме многоугольника, то есть длине перпендикуляра, опущенного из его центра на сторону. В нашей конструкции это как раз длина высоты $OH$.Снова обратимся к прямоугольному треугольнику $\triangle OHA$. В нем катет $OH$ и есть искомый радиус $r_n$.По определению косинуса, $\cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA}$.Подставим известные величины:$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{r_n}{R}$.Отсюда выражаем $r_n$:$r_n = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Ответ: $r_n = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.