Номер 13, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Вопросы для повторения к главе 13 - номер 13, страница 310.

Условие.

13 Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности, используя её радианную меру.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для вывода формулы длины дуги окружности воспользуемся определением радианной меры угла.

Определение радиана: Угол в 1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Пусть у нас есть окружность радиуса $R$.

Согласно определению, центральный угол $\alpha = 1$ радиан опирается на дугу, длина которой $L = R$.

Длина дуги окружности прямо пропорциональна величине её центрального угла. Это означает, что если мы увеличим угол в несколько раз, то и длина дуги, на которую он опирается, увеличится во столько же раз.

Следовательно, для произвольного центрального угла, выраженного в радианах и равного $\alpha$, длина соответствующей ему дуги $L$ будет в $\alpha$ раз больше, чем длина дуги для угла в 1 радиан (которая равна $R$).

Таким образом, мы можем записать математическое соотношение:

$L = \alpha \cdot R$

Где:

• $L$ — длина дуги окружности,
• $R$ — радиус окружности,
• $\alpha$ — величина центрального угла, опирающегося на дугу, выраженная в радианах.

Проверим эту формулу для всей окружности. Длина всей окружности известна и равна $C = 2\pi R$. Полный угол окружности в радианах равен $2\pi$. Подставив $\alpha = 2\pi$ в нашу формулу, получим:

$L = (2\pi) \cdot R = 2\pi R$

Результат совпал с известной формулой длины окружности, что подтверждает правильность вывода.

Ответ: Формула для вычисления длины дуги окружности через её радианную меру имеет вид $L = \alpha \cdot R$, где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол в радианах, стягивающий эту дугу.