Номер 14, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Вопросы для повторения к главе 13 - номер 14, страница 310.

Условие.

14 Выведите формулу для вычисления площади круга.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Существует несколько способов вывода формулы для вычисления площади круга. Рассмотрим два из них: один геометрический и наглядный, а другой — с помощью методов математического анализа.

Метод 1: Разрезание круга на секторы

Этот метод основан на идее представления круга как совокупности большого числа секторов.

1. Возьмем круг радиуса $R$. Длина его окружности, как известно, вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.
2. Разделим этот круг на большое число $n$ равных секторов. Каждый сектор будет похож на узкий треугольник с основанием в виде дуги и высотой, равной радиусу круга $R$.
3. Теперь расположим эти секторы в один ряд, чередуя их: один острием вверх, следующий — острием вниз. В результате мы получим фигуру, очень похожую на параллелограмм (или, при очень большом $n$, на прямоугольник).
4. Проанализируем размеры полученной фигуры:
   • Высота этой фигуры будет равна радиусу круга $R$, так как боковые стороны секторов являются радиусами.
   • Длина основания фигуры будет состоять из дуг половины секторов (вторая половина дуг образует верхнюю сторону). Таким образом, длина основания будет равна половине длины окружности исходного круга:
     $L_{основания} = \frac{C}{2} = \frac{2\pi R}{2} = \pi R$.
5. Чем больше секторов $n$ мы берем, тем точнее наша фигура будет соответствовать прямоугольнику. Площадь этого прямоугольника равна произведению его высоты на длину основания. Так как площадь этой фигуры равна площади исходного круга, получаем:
   $S = \text{высота} \times \text{основание} = R \times (\pi R) = \pi R^2$.

Метод 2: С помощью интегрального исчисления

Этот метод является более строгим с математической точки зрения. Представим круг как совокупность бесконечного числа очень тонких концентрических колец.

1. Рассмотрим одно такое кольцо, находящееся на расстоянии $r$ от центра, где $0 \le r \le R$. Пусть его толщина будет бесконечно малой величиной $dr$.
2. Длина этого кольца (его окружность) равна $2\pi r$. Если мы "разрежем" и "распрямим" это кольцо, мы получим очень узкий прямоугольник длиной $2\pi r$ и шириной $dr$.
3. Площадь этого бесконечно тонкого кольца (дифференциал площади) $dS$ будет равна:
   $dS = 2\pi r \, dr$.
4. Чтобы найти общую площадь круга $S$, нужно "сложить" (проинтегрировать) площади всех таких колец, от центра ($r=0$) до края круга ($r=R$):
   $S = \int_{0}^{R} dS = \int_{0}^{R} 2\pi r \, dr$.
5. Вычислим этот определенный интеграл:
   $S = 2\pi \int_{0}^{R} r \, dr = 2\pi \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = 2\pi \left( \frac{R^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2$.

Оба метода приводят к одной и той же формуле.

Ответ: Формула для вычисления площади круга радиуса $R$ имеет вид $S = \pi R^2$.