Номер 1224, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1224, страница 311.

1224 Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

а) вписанных в одну и ту же окружность

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и квадрат.
Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность радиуса $R$, находится по формуле:
$a_3 = R\sqrt{3}$
Периметр правильного треугольника ($P_3$) равен:
$P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$
Сторона квадрата ($a_4$), вписанного в ту же окружность, находится по формуле:
$a_4 = R\sqrt{2}$
Периметр квадрата ($P_4$) равен:
$P_4 = 4a_4 = 4R\sqrt{2}$
Теперь найдем отношение периметра треугольника к периметру квадрата:
$\frac{P_3}{P_4} = \frac{3R\sqrt{3}}{4R\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{6}}{8}$.

б) описанных около одной и той же окружности

Пусть $r$ — радиус окружности, около которой описаны правильный треугольник и квадрат.
Сторона правильного треугольника ($a_3$), описанного около окружности радиуса $r$, находится по формуле:
$a_3 = 2r\sqrt{3}$
Периметр этого треугольника ($P_3$) равен:
$P_3 = 3a_3 = 3 \cdot 2r\sqrt{3} = 6r\sqrt{3}$
Сторона квадрата ($a_4$), описанного около той же окружности, равна диаметру этой окружности:
$a_4 = 2r$
Периметр этого квадрата ($P_4$) равен:
$P_4 = 4a_4 = 4 \cdot 2r = 8r$
Теперь найдем отношение периметра треугольника к периметру квадрата:
$\frac{P_3}{P_4} = \frac{6r\sqrt{3}}{8r} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.