Номер 1228, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Дополнительные задачи - номер 1228, страница 311.

Условие.

1228 Квадрат А₁А₂А₃А₄ вписан в окружность радиуса R (рис. 357). На его сторонах отмечены восемь точек так, что ${А}_1{В}_1={А}_2{В}_2={А}_3{В}_3={А}_4{В}_4={А}_1{С}_1={А}_2{С}_2={А}_3{С}_3={А}_4{С}_4=R.$ Докажите, что восьми угольник В₁С₃В₂С₄В₃С₁В₄C₂ правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи сперва определим геометрические параметры фигур, исходя из условия. Затем мы проверим утверждение о правильности восьмиугольника и вычислим его площадь.

Квадрат $A_1A_2A_3A_4$ вписан в окружность радиуса $R$. Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности, а диагональ квадрата является диаметром окружности и равна $2R$. Пусть сторона квадрата равна $s$. По теореме Пифагора для треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:$s^2 + s^2 = (2R)^2$$2s^2 = 4R^2$$s^2 = 2R^2 \implies s = R\sqrt{2}$

На сторонах квадрата отмечены восемь точек. Условия $A_1B_1 = R$, $A_2B_2 = R$ и т.д., а также $A_1C_1 = R$, $A_2C_2 = R$ и т.д., вместе с рисунком и названием восьмиугольника $B_1C_2B_2C_3B_3C_4B_4C_1$ позволяют однозначно определить расположение точек. Восьмиугольник образуется путем отсечения от вершин квадрата четырех прямугольных треугольников.

• У вершины $A_1$ отсекается треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ с катетами $A_1B_1 = R$ и $A_1C_1 = R$.
• У вершины $A_2$ отсекается треугольник $\triangle A_2B_2C_2$ с катетами $A_2B_2 = R$ и $A_2C_2 = R$.
• У вершины $A_3$ отсекается треугольник $\triangle A_3B_3C_3$ с катетами $A_3B_3 = R$ и $A_3C_3 = R$.
• У вершины $A_4$ отсекается треугольник $\triangle A_4B_4C_4$ с катетами $A_4B_4 = R$ и $A_4C_4 = R$.

Заметим, что длина стороны квадрата $s=R\sqrt{2} \approx 1.414R$. Так как $R < R\sqrt{2}$, все указанные точки действительно лежат на сторонах квадрата.

Докажите, что восьмиугольник $B_1C_2B_2C_3B_3C_4B_4C_1$ правильный

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Проверим равенство сторон восьмиугольника.

Стороны восьмиугольника бывают двух типов:

1. Стороны, являющиеся гипотенузами отсеченных треугольников. Например, сторона $C_2B_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle A_2C_2B_2$. Его катеты равны $A_2C_2=R$ и $A_2B_2=R$. По теореме Пифагора: $C_2B_2 = \sqrt{A_2C_2^2 + A_2B_2^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$. В силу симметрии, все 4 стороны такого типа ($C_2B_2, C_3B_3, C_4B_4, C_1B_1$) имеют длину $R\sqrt{2}$.
2. Стороны, лежащие на сторонах исходного квадрата. Например, сторона $B_1C_2$ лежит на стороне квадрата $A_1A_2$. Точки $B_1$ и $C_2$ расположены на отрезке $A_1A_2$ на расстояниях $A_1B_1=R$ и $A_2C_2=R$ от его концов. Длина стороны квадрата $s = A_1A_2 = R\sqrt{2}$. Длина отрезка $B_1C_2$ равна $|A_1A_2 - A_1B_1 - A_2C_2| = |R\sqrt{2} - R - R| = |R(\sqrt{2}-2)|$. Поскольку $2 > \sqrt{2}$, длина стороны $B_1C_2 = R(2-\sqrt{2})$. В силу симметрии, все 4 стороны такого типа ($B_1C_2, B_2C_3, B_3C_4, B_4C_1$) имеют длину $R(2-\sqrt{2})$.

Для того чтобы восьмиугольник был правильным, все его стороны должны быть равны, то есть должно выполняться равенство:$R\sqrt{2} = R(2-\sqrt{2})$$\sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}$$2\sqrt{2} = 2$$\sqrt{2} = 1$

Это равенство неверно. Следовательно, стороны восьмиугольника не равны между собой, и восьмиугольник не является правильным. Условие задачи содержит неточность.

Ответ: Утверждение о том, что восьмиугольник является правильным, неверно, так как его стороны имеют разную длину: четыре стороны имеют длину $R\sqrt{2}$, а другие четыре — $R(2-\sqrt{2})$.

выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R

Площадь восьмиугольника $S_{oct}$ можно найти, вычтя из площади квадрата $S_{sq}$ площади четырех отсеченных прямоугольных треугольников ($S_{\triangle A_1B_1C_1}, S_{\triangle A_2B_2C_2}, \dots$).

1. Площадь квадрата $A_1A_2A_3A_4$ со стороной $s = R\sqrt{2}$ равна:$S_{sq} = s^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

2. Все четыре отсеченных треугольника ($\triangle A_1B_1C_1$, $\triangle A_2B_2C_2$, $\triangle A_3B_3C_3$, $\triangle A_4B_4C_4$) являются прямоугольными и равнобедренными с катетами длины $R$. Площадь одного такого треугольника равна:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2}R^2$.

3. Суммарная площадь четырех отсеченных треугольников:$S_{4\triangle} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{2}R^2 = 2R^2$.

4. Площадь восьмиугольника:$S_{oct} = S_{sq} - S_{4\triangle} = 2R^2 - 2R^2 = 0$.

Полученный результат означает, что при заданных в условии параметрах восьмиугольник вырождается (его площадь равна нулю). Это подтверждает наличие ошибки в формулировке задачи.

Ответ: $S_{oct} = 0$.