Номер 1228, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1228, страница 311.

1228 Квадрат А₁А₂А₃А₄ вписан в окружность радиуса R (рис. 357). На его сторонах отмечены восемь точек так, что ${А}_1{В}_1={А}_2{В}_2={А}_3{В}_3={А}_4{В}_4={А}_1{С}_1={А}_2{С}_2={А}_3{С}_3={А}_4{С}_4=R.$ Докажите, что восьми угольник В₁С₃В₂С₄В₃С₁В₄C₂ правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.

Для решения задачи сперва определим геометрические параметры фигур, исходя из условия. Затем мы проверим утверждение о правильности восьмиугольника и вычислим его площадь.

Квадрат $A_1A_2A_3A_4$ вписан в окружность радиуса $R$. Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности, а диагональ квадрата является диаметром окружности и равна $2R$. Пусть сторона квадрата равна $s$. По теореме Пифагора для треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:$s^2 + s^2 = (2R)^2$$2s^2 = 4R^2$$s^2 = 2R^2 \implies s = R\sqrt{2}$

На сторонах квадрата отмечены восемь точек. Условия $A_1B_1 = R$, $A_2B_2 = R$ и т.д., а также $A_1C_1 = R$, $A_2C_2 = R$ и т.д., вместе с рисунком и названием восьмиугольника $B_1C_2B_2C_3B_3C_4B_4C_1$ позволяют однозначно определить расположение точек. Восьмиугольник образуется путем отсечения от вершин квадрата четырех прямугольных треугольников.

• У вершины $A_1$ отсекается треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ с катетами $A_1B_1 = R$ и $A_1C_1 = R$.
• У вершины $A_2$ отсекается треугольник $\triangle A_2B_2C_2$ с катетами $A_2B_2 = R$ и $A_2C_2 = R$.
• У вершины $A_3$ отсекается треугольник $\triangle A_3B_3C_3$ с катетами $A_3B_3 = R$ и $A_3C_3 = R$.
• У вершины $A_4$ отсекается треугольник $\triangle A_4B_4C_4$ с катетами $A_4B_4 = R$ и $A_4C_4 = R$.

Заметим, что длина стороны квадрата $s=R\sqrt{2} \approx 1.414R$. Так как $R < R\sqrt{2}$, все указанные точки действительно лежат на сторонах квадрата.

Докажите, что восьмиугольник $B_1C_2B_2C_3B_3C_4B_4C_1$ правильный

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Проверим равенство сторон восьмиугольника.

Стороны восьмиугольника бывают двух типов:

1. Стороны, являющиеся гипотенузами отсеченных треугольников. Например, сторона $C_2B_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle A_2C_2B_2$. Его катеты равны $A_2C_2=R$ и $A_2B_2=R$. По теореме Пифагора: $C_2B_2 = \sqrt{A_2C_2^2 + A_2B_2^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$. В силу симметрии, все 4 стороны такого типа ($C_2B_2, C_3B_3, C_4B_4, C_1B_1$) имеют длину $R\sqrt{2}$.
2. Стороны, лежащие на сторонах исходного квадрата. Например, сторона $B_1C_2$ лежит на стороне квадрата $A_1A_2$. Точки $B_1$ и $C_2$ расположены на отрезке $A_1A_2$ на расстояниях $A_1B_1=R$ и $A_2C_2=R$ от его концов. Длина стороны квадрата $s = A_1A_2 = R\sqrt{2}$. Длина отрезка $B_1C_2$ равна $|A_1A_2 - A_1B_1 - A_2C_2| = |R\sqrt{2} - R - R| = |R(\sqrt{2}-2)|$. Поскольку $2 > \sqrt{2}$, длина стороны $B_1C_2 = R(2-\sqrt{2})$. В силу симметрии, все 4 стороны такого типа ($B_1C_2, B_2C_3, B_3C_4, B_4C_1$) имеют длину $R(2-\sqrt{2})$.

Для того чтобы восьмиугольник был правильным, все его стороны должны быть равны, то есть должно выполняться равенство:$R\sqrt{2} = R(2-\sqrt{2})$$\sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}$$2\sqrt{2} = 2$$\sqrt{2} = 1$

Это равенство неверно. Следовательно, стороны восьмиугольника не равны между собой, и восьмиугольник не является правильным. Условие задачи содержит неточность.

Ответ: Утверждение о том, что восьмиугольник является правильным, неверно, так как его стороны имеют разную длину: четыре стороны имеют длину $R\sqrt{2}$, а другие четыре — $R(2-\sqrt{2})$.

выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R

Площадь восьмиугольника $S_{oct}$ можно найти, вычтя из площади квадрата $S_{sq}$ площади четырех отсеченных прямоугольных треугольников ($S_{\triangle A_1B_1C_1}, S_{\triangle A_2B_2C_2}, \dots$).

1. Площадь квадрата $A_1A_2A_3A_4$ со стороной $s = R\sqrt{2}$ равна:$S_{sq} = s^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

2. Все четыре отсеченных треугольника ($\triangle A_1B_1C_1$, $\triangle A_2B_2C_2$, $\triangle A_3B_3C_3$, $\triangle A_4B_4C_4$) являются прямоугольными и равнобедренными с катетами длины $R$. Площадь одного такого треугольника равна:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2}R^2$.

3. Суммарная площадь четырех отсеченных треугольников:$S_{4\triangle} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{2}R^2 = 2R^2$.

4. Площадь восьмиугольника:$S_{oct} = S_{sq} - S_{4\triangle} = 2R^2 - 2R^2 = 0$.

Полученный результат означает, что при заданных в условии параметрах восьмиугольник вырождается (его площадь равна нулю). Это подтверждает наличие ошибки в формулировке задачи.

Ответ: $S_{oct} = 0$.