Номер 1225, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1225, страница 311.

1225 Диагонали А₁А₆ и A₂A₉ правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке B (рис. 355). Докажите, что:

а) треугольники A₁A₂B и A₆A₉B равносторонние;

б) А₁А₆ = 2r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

а)

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$, вписанный в окружность. Все его вершины лежат на этой окружности. Угловая мера дуги, стягиваемой каждой стороной правильного двенадцатиугольника, равна $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Величина вписанного угла измеряется половиной угловой меры дуги, на которую он опирается.

Найдем углы треугольника $A_1A_2B$.

Угол $\angle A_2A_1B$, который совпадает с углом $\angle A_2A_1A_6$, является вписанным и опирается на дугу $A_2A_6$. Эта дуга состоит из 4-х равных дуг ($A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6$), поэтому ее угловая мера равна $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle A_2A_1B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Угол $\angle A_1A_2B$, который совпадает с углом $\angle A_1A_2A_9$, является вписанным и опирается на дугу $A_9A_1$. Эта дуга (меньшая из двух) состоит из 4-х равных дуг ($A_9A_{10}, A_{10}A_{11}, A_{11}A_{12}, A_{12}A_1$), поэтому ее угловая мера также равна $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle A_1A_2B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $A_1A_2B$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle A_1BA_2$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $A_1A_2B$ является равносторонним.

Теперь рассмотрим треугольник $A_6A_9B$.

Углы $\angle A_1BA_2$ и $\angle A_6BA_9$ являются вертикальными, следовательно, они равны. $\angle A_6BA_9 = \angle A_1BA_2 = 60^\circ$.

Угол $\angle BA_6A_9$, который совпадает с углом $\angle A_1A_6A_9$, является вписанным и опирается на дугу $A_1A_9$ (или, точнее, дугу $A_9A_1$), угловая мера которой, как мы выяснили, составляет $120^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle BA_6A_9 = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Так как два угла в треугольнике $A_6A_9B$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle BA_9A_6$ также равен $60^\circ$. Таким образом, треугольник $A_6A_9B$ является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $A_1A_2B$ и $A_6A_9B$ являются равносторонними.

б)

Пусть $R$ — радиус описанной около двенадцатиугольника окружности, а $r$ — радиус вписанной в него окружности (который также является апофемой многоугольника). Центр $O$ у обеих окружностей общий.

Радиус вписанной окружности $r$ можно выразить через радиус описанной окружности $R$. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_2$, где $OA_1 = OA_2 = R$. Угол при вершине $\angle A_1OA_2$ равен $30^\circ$. Апофема $r$ — это высота этого треугольника, опущенная из вершины $O$ на сторону $A_1A_2$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также биссектрисой угла при вершине. Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, апофемой $r$ и половиной стороны, получаем соотношение: $r = R \cos(\frac{\angle A_1OA_2}{2}) = R \cos(\frac{30^\circ}{2}) = R \cos(15^\circ)$.

Теперь найдем длину диагонали $A_1A_6$. Эта диагональ является хордой описанной окружности. Она стягивает дугу $A_1A_6$, которая состоит из 5-ти дуг, соответствующих сторонам многоугольника ($A_1A_2, \dots, A_5A_6$). Угловая мера этой дуги, а значит и центральный угол $\angle A_1OA_6$, равна $5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Длину хорды можно найти по формуле $d = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ — соответствующий центральный угол. В нашем случае: $A_1A_6 = 2R \sin(\frac{150^\circ}{2}) = 2R \sin(75^\circ)$.

Используем формулу приведения $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$: $\sin(75^\circ) = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos(15^\circ)$.

Подставим это значение в выражение для длины диагонали $A_1A_6$: $A_1A_6 = 2R \cos(15^\circ)$.

Сравнивая полученное выражение с выражением для радиуса вписанной окружности $r = R \cos(15^\circ)$, мы можем заключить: $A_1A_6 = 2(R \cos(15^\circ)) = 2r$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $A_1A_6 = 2r$.