Номер 12, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 12, страница 310.

12 Объясните, как связаны градусная и радианная меры одного и того же угла.

Градусная и радианная меры являются двумя различными единицами измерения углов. Их связь основана на соотнесении с полной окружностью.

Определение градусной меры

Градусная мера основана на делении полной окружности на 360 равных частей. Одна такая часть принимается за единицу измерения и называется градусом ($1^\circ$). Таким образом, полный оборот составляет $360^\circ$, а развернутый угол — $180^\circ$.

Определение радианной меры

Радианная мера связана с длиной дуги окружности. 1 радиан — это величина центрального угла, для которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу этой окружности. Длина всей окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — это радиус. Чтобы найти, сколько радиан в полной окружности, нужно разделить длину окружности на ее радиус: $\frac{2\pi R}{R} = 2\pi$. Следовательно, полный угол равен $2\pi$ радиан.

Установление связи

Поскольку полный угол в градусах равен $360^\circ$, а в радианах — $2\pi$, мы можем установить прямое соотношение:

$360^\circ = 2\pi \text{ радиан}$

Обычно это равенство сокращают, деля обе части на 2, и получают основную формулу, связывающую градусы и радианы:

$180^\circ = \pi \text{ радиан}$

Формулы для перевода

Из основного соотношения $180^\circ = \pi$ радиан можно вывести формулы для пересчета из одной меры в другую:

1. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно его величину ($\alpha^\circ$) умножить на множитель $\frac{\pi}{180}$:
   $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180}$
   Пример: $60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
2. Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно его величину ($\beta_{рад}$) умножить на множитель $\frac{180}{\pi}$:
   $\beta^\circ = \beta_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
   Пример: $\frac{\pi}{2}$ радиан $= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 90^\circ$.

Также из основного соотношения можно выразить величину одного градуса и одного радиана:

$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан (приблизительно 0,01745 радиан)

$1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$ (приблизительно $57.3^\circ$)

Ответ: Градусная и радианная меры связаны основным соотношением $180^\circ = \pi$ радиан, которое следует из того, что полный угол равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Для перевода величины угла из градусов в радианы ее нужно умножить на $\frac{\pi}{180}$, а для обратного перевода из радиан в градусы — умножить на $\frac{180}{\pi}$.