Номер 1220, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. 121. Площадь кругового сектора - номер 1220, страница 310.

Условие.

1220 Докажите, что площадь S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с радианной мерой φ, вычисляется по формуле S = φR²2.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства этой формулы мы можем использовать метод пропорций, основываясь на том, что площадь сектора прямо пропорциональна его центральному углу.

1. Площадь всего круга радиуса $R$ хорошо известна и вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.

2. Полный угол, который описывает весь круг, составляет $360$ градусов. В радианной мере этот угол равен $2\pi$ радиан.

3. Поскольку площадь сектора пропорциональна его углу, мы можем составить пропорцию: отношение площади сектора $S$ к площади всего круга равно отношению центрального угла сектора $\phi$ (в радианах) к углу полного круга ($2\pi$ радиан).

Математически эта пропорция записывается так:

$$ \frac{S}{S_{круга}} = \frac{\phi}{2\pi} $$

4. Теперь подставим в эту пропорцию выражение для площади круга $S_{круга} = \pi R^2$:

$$ \frac{S}{\pi R^2} = \frac{\phi}{2\pi} $$

5. Чтобы найти площадь сектора $S$, выразим ее из полученного уравнения, умножив обе части на $\pi R^2$:

$$ S = \frac{\phi}{2\pi} \cdot \pi R^2 $$

6. Сократим множитель $\pi$ в числителе и знаменателе правой части:

$$ S = \frac{\phi R^2}{2} $$

Таким образом, мы доказали, что площадь кругового сектора радиуса $R$ с центральным углом $\phi$ в радианах вычисляется по указанной формуле. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что площадь $S$ кругового сектора радиуса $R$, ограниченного дугой с радианной мерой $\phi$, вычисляется по формуле $S = \frac{\phi R^2}{2}$.