Номер 1220, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1220, страница 310.

1220 Докажите, что площадь S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с радианной мерой φ, вычисляется по формуле S = φR²2.

Для доказательства этой формулы мы можем использовать метод пропорций, основываясь на том, что площадь сектора прямо пропорциональна его центральному углу.

1. Площадь всего круга радиуса $R$ хорошо известна и вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.

2. Полный угол, который описывает весь круг, составляет $360$ градусов. В радианной мере этот угол равен $2\pi$ радиан.

3. Поскольку площадь сектора пропорциональна его углу, мы можем составить пропорцию: отношение площади сектора $S$ к площади всего круга равно отношению центрального угла сектора $\phi$ (в радианах) к углу полного круга ($2\pi$ радиан).

Математически эта пропорция записывается так:

$$ \frac{S}{S_{круга}} = \frac{\phi}{2\pi} $$

4. Теперь подставим в эту пропорцию выражение для площади круга $S_{круга} = \pi R^2$:

$$ \frac{S}{\pi R^2} = \frac{\phi}{2\pi} $$

5. Чтобы найти площадь сектора $S$, выразим ее из полученного уравнения, умножив обе части на $\pi R^2$:

$$ S = \frac{\phi}{2\pi} \cdot \pi R^2 $$

6. Сократим множитель $\pi$ в числителе и знаменателе правой части:

$$ S = \frac{\phi R^2}{2} $$

Таким образом, мы доказали, что площадь кругового сектора радиуса $R$ с центральным углом $\phi$ в радианах вычисляется по указанной формуле. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что площадь $S$ кругового сектора радиуса $R$, ограниченного дугой с радианной мерой $\phi$, вычисляется по формуле $S = \frac{\phi R^2}{2}$.