Номер 1240, страница 318 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1240, страница 318.

1240 Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;

б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;

Пусть $l$ — ось симметрии, а прямая $a$ параллельна оси $l$ ($a \parallel l$). Поскольку осевая симметрия является движением (изометрией), она отображает прямую на прямую. Пусть образом прямой $a$ при симметрии относительно $l$ является прямая $a'$.

Чтобы доказать, что $a' \parallel l$, выберем на прямой $a$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. Их образами при симметрии относительно $l$ будут точки $A'$ и $B'$. Прямая $a'$ является прямой, проходящей через точки $A'$ и $B'$.

По определению осевой симметрии, ось $l$ является серединным перпендикуляром к отрезкам $AA'$ и $BB'$. Это значит, что отрезки $AA' \perp l$ и $BB' \perp l$, а также то, что расстояние от точки $A$ до оси $l$ равно расстоянию от точки $A'$ до оси $l$, и аналогично для точек $B$ и $B'$.

Так как прямая $a$ параллельна прямой $l$, то все точки прямой $a$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$. Обозначим это расстояние $d$. Таким образом, расстояние от $A$ до $l$ равно $d$, и расстояние от $B$ до $l$ равно $d$.

Из свойств симметрии следует, что расстояние от их образов $A'$ и $B'$ до оси $l$ также будет равно $d$. Поскольку все точки прямой $a'$ (включая $A'$ и $B'$) равноудалены от прямой $l$ и лежат по одну сторону от нее, то прямая $a'$ параллельна прямой $l$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии.

б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

Пусть $l$ — ось симметрии, а прямая $b$ перпендикулярна оси $l$ ($b \perp l$). Осевая симметрия отображает прямую на прямую. Пусть образом прямой $b$ является прямая $b'$. Нам нужно доказать, что прямая $b$ отображается на себя, то есть $b' = b$.

Для доказательства того, что две прямые совпадают, достаточно показать, что две различные точки одной прямой отображаются в точки, также лежащие на этой прямой.

1. Пусть прямые $b$ и $l$ пересекаются в точке $M$. Так как точка $M$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя. Таким образом, образ точки $M$ (которая принадлежит прямой $b$) есть сама точка $M$, которая также принадлежит прямой $b$.

2. Возьмем на прямой $b$ любую другую точку $P$, отличную от $M$. Пусть ее образом при симметрии относительно $l$ является точка $P'$. По определению осевой симметрии, ось $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Это означает, что прямая, проходящая через точки $P$ и $P'$, перпендикулярна оси $l$.

Мы знаем, что исходная прямая $b$ также проходит через точку $P$ и перпендикулярна оси $l$. Через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Следовательно, прямая, содержащая отрезок $PP'$, совпадает с прямой $b$. Это означает, что точка $P'$ также лежит на прямой $b$.

Таким образом, мы показали, что две различные точки ($M$ и $P$) прямой $b$ отображаются в точки ($M$ и $P'$), которые также лежат на прямой $b$. Так как через две точки можно провести только одну прямую, то образ прямой $b$, то есть прямая $b'$, совпадает с самой прямой $b$.

Ответ: Доказано, что прямая, перпендикулярная оси симметрии, отображается на себя.