Номер 1242, страница 318 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1242, страница 318.

1242 Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Решение

Пусть при данном движении угол AOB отображается на угол A₁O₁B₁, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки А₁, О₁, В₁. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Если угол AOB неразвёрнутый, то треугольники AOB и A₁O₁B₁ равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁. Если угол AOB развёрнутый, то и угол A₁O₁B₁ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

Пусть дано движение (изометрическое преобразование плоскости), которое отображает произвольный угол $?AOB$ на угол $?A_1O_1B_1$. Это означает, что точки $A, O, B$ переходят соответственно в точки $A_1, O_1, B_1$. Необходимо доказать, что величина угла при этом сохраняется, то есть $?AOB = ?A_1O_1B_1$.

По определению, движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Следовательно, для точек $A, O, B$ и их образов $A_1, O_1, B_1$ выполняются следующие равенства: $OA = O_1A_1$, $OB = O_1B_1$ и $AB = A_1B_1$.

Рассмотрим два возможных случая.

Если угол $?AOB$ неразвёрнутый

В этом случае точки $A, O, B$ не лежат на одной прямой и образуют треугольник $?AOB$. Движение отображает этот треугольник на треугольник $?A_1O_1B_1$. Так как движение сохраняет расстояния, стороны треугольника $?AOB$ равны соответствующим сторонам треугольника $?A_1O_1B_1$ ($OA = O_1A_1$, $OB = O_1B_1$, $AB = A_1B_1$). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $?AOB \cong ?A_1O_1B_1$. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, а значит $?AOB = ?A_1O_1B_1$.

Если угол $?AOB$ развёрнутый

В этом случае точки $A, O, B$ лежат на одной прямой, причём вершина угла $O$ находится между точками $A$ и $B$. Это означает, что выполняется равенство $AB = AO + OB$. Поскольку движение сохраняет расстояния, для образов точек $A_1, O_1, B_1$ будет выполняться аналогичное равенство: $A_1B_1 = A_1O_1 + O_1B_1$. Это равенство является признаком того, что точка $O_1$ лежит на отрезке $A_1B_1$, то есть точки $A_1, O_1, B_1$ также лежат на одной прямой. Таким образом, угол $?A_1O_1B_1$ также является развёрнутым. Так как все развёрнутые углы равны $180°$, то $?AOB = ?A_1O_1B_1$.

Ответ: Утверждение доказано. При движении угол отображается на равный ему угол. Для неразвёрнутого угла это следует из равенства треугольников по трём сторонам (так как движение сохраняет расстояния). Для развёрнутого угла это следует из того, что свойство коллинеарности точек и их взаимного расположения, выражаемое через расстояния ($AB = AO + OB$), также сохраняется при движении, поэтому развёрнутый угол переходит в развёрнутый.