Номер 1249, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1249, страница 319.

1249 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ AB = А₁В₁, AC = А₁C₁, ВС = В₁С₁. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁, и притом только одно.

Решение

По условию задачи треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, B₁ и С₁. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки A₁, В₁ и С₁ (задача 1248).

Требуется доказать, что для двух равных по трем сторонам треугольников существует единственное движение, переводящее один треугольник в другой. Доказательство разобьем на две части: доказательство существования такого движения и доказательство его единственности.

Доказательство существования

Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, такие что $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$. Нам нужно построить движение (изометрию), которое отображает точки $A, B, C$ в $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Мы сделаем это в несколько шагов, используя композицию основных движений.

1. Совместим точку A с точкой A?.
Если точки $A$ и $A_1$ не совпадают, совершим параллельный перенос на вектор $\vec{AA_1}$. Это движение отобразит точку $A$ в $A_1$. При этом треугольник $ABC$ отобразится в некоторый треугольник $A_1B'C'$. Так как параллельный перенос является движением, он сохраняет расстояния, поэтому $\triangle ABC$ конгруэнтен $\triangle A_1B'C'$. Следовательно, $A_1B' = AB = A_1B_1$ и $A_1C' = AC = A_1C_1$. Если точки $A$ и $A_1$ изначально совпадают, этот шаг пропускается.

2. Совместим луч A?B' с лучом A?B?.
После первого шага у нас есть точка $A_1$, являющаяся общей вершиной для треугольников $A_1B'C'$ и $A_1B_1C_1$. Мы знаем, что $A_1B' = A_1B_1$. Совершим поворот вокруг точки $A_1$ на угол $\angle B'A_1B_1$. Это движение оставит точку $A_1$ на месте и, так как длины отрезков $A_1B'$ и $A_1B_1$ равны, отобразит точку $B'$ в точку $B_1$. Треугольник $A_1B'C'$ при этом повороте отобразится в некоторый треугольник $A_1B_1C''$. Так как поворот является движением, $\triangle A_1B'C'$ конгруэнтен $\triangle A_1B_1C''$. Отсюда следует, что $A_1C'' = A_1C' = A_1C_1$ и $B_1C'' = B'C' = BC = B_1C_1$.

3. Совместим точку C'' с точкой C?.
После второго шага мы имеем, что точки $C''$ и $C_1$ равноудалены от двух различных точек $A_1$ и $B_1$. То есть, $A_1C'' = A_1C_1$ и $B_1C'' = B_1C_1$. Это означает, что обе точки, $C''$ и $C_1$, лежат на пересечении двух окружностей: одной с центром в $A_1$ и радиусом $A_1C_1$, и другой с центром в $B_1$ и радиусом $B_1C_1$. Две окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Эти точки (если они различны) симметричны относительно прямой $A_1B_1$. Возможны два случая:
а) Точка $C''$ совпадает с точкой $C_1$. В этом случае искомое движение — это композиция выполненных нами параллельного переноса и поворота. Цель достигнута.
б) Точка $C''$ не совпадает с точкой $C_1$. Это означает, что $C''$ и $C_1$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $A_1B_1$. В этом случае $C''$ и $C_1$ симметричны относительно прямой $A_1B_1$. Применим осевую симметрию относительно прямой $A_1B_1$. Это движение оставит точки $A_1$ и $B_1$ на месте, а точку $C''$ отобразит в $C_1$. Таким образом, треугольник $A_1B_1C''$ отобразится в $A_1B_1C_1$. Искомое движение — это композиция параллельного переноса, поворота и осевой симметрии.
Итак, мы показали, что всегда существует движение (как композиция не более трёх простейших движений), которое отображает $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство единственности

Предположим, что существуют два различных движения, $f$ и $g$, каждое из которых отображает точки $A, B, C$ в $A_1, B_1, C_1$ соответственно. То есть, $f(A)=A_1, f(B)=B_1, f(C)=C_1$ и $g(A)=A_1, g(B)=B_1, g(C)=C_1$.

Рассмотрим композицию движений $h = g^{-1} \circ f$, где $g^{-1}$ — движение, обратное к $g$. Композиция двух движений также является движением. Найдем, куда это движение $h$ отображает вершины треугольника $ABC$:
$h(A) = g^{-1}(f(A)) = g^{-1}(A_1) = A$
$h(B) = g^{-1}(f(B)) = g^{-1}(B_1) = B$
$h(C) = g^{-1}(f(C)) = g^{-1}(C_1) = C$
Таким образом, движение $h$ оставляет на месте три точки $A, B, C$.

Поскольку треугольник $ABC$ существует, его вершины $A, B, C$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны). Докажем, что движение, оставляющее на месте три неколлинеарные точки, является тождественным преобразованием (т.е. оставляет на месте любую точку плоскости).

Пусть $P$ — произвольная точка плоскости, и $P' = h(P)$. Так как $h$ — движение, оно сохраняет расстояния. Поэтому:
$AP = AP'$, поскольку $h(A)=A$ и $h(P)=P'$.
$BP = BP'$, поскольку $h(B)=B$ и $h(P)=P'$.
$CP = CP'$, поскольку $h(C)=C$ и $h(P)=P'$.
Это означает, что точка $P'$ находится на одинаковом расстоянии от $A, B, C$, что и точка $P$. Геометрически это означает, что $P$ и $P'$ являются общей точкой трех окружностей с центрами в $A, B, C$ и радиусами $AP, BP, CP$ соответственно. Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, эти три окружности могут иметь только одну общую точку. Следовательно, $P'$ должна совпадать с $P$.

Поскольку $P' = P$ для любой точки $P$ на плоскости, движение $h$ является тождественным преобразованием ($h = Id$).

Из равенства $h = g^{-1} \circ f = Id$ следует, что $f=g$. Для этого применим к обеим частям равенства слева движение $g$: $g \circ (g^{-1} \circ f) = g \circ Id$, что дает $(g \circ g^{-1}) \circ f = g$, и, наконец, $Id \circ f = g$, то есть $f=g$.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $f$ и $g$ — различные движения. Следовательно, такое движение может быть только одно.

Ответ: Доказано, что существует ровно одно движение, при котором точки $A, B$ и $C$ отображаются в точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно, что и требовалось доказать.