Страница 344 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1309 Отметьте пять точек и обозначьте их буквами О, А, В, С, D. а) Постройте точки А₁, В₁, С₁, D₁ так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом 2 точки А, В, С и D перешли соответственно в точки А₁, В₁, С₁ и D₁; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k = –3.

Сначала произвольным образом отметим на плоскости пять точек и обозначим их буквами O, A, B, C, D. Точка O будет служить центром гомотетии, а точки A, B, C, D — прообразами.

Требуется построить точки A?, B?, C?, D?, которые являются образами точек A, B, C, D при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом $k=2$.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка P переходит в точку P? так, что выполняется векторное равенство $\vec{OP_1} = k \cdot \vec{OP}$.

В данном случае $k=2$, поэтому для каждой точки должны выполняться следующие условия:
$\vec{OA_1} = 2 \cdot \vec{OA}$
$\vec{OB_1} = 2 \cdot \vec{OB}$
$\vec{OC_1} = 2 \cdot \vec{OC}$
$\vec{OD_1} = 2 \cdot \vec{OD}$

Так как коэффициент $k=2$ положителен, каждая точка-образ (например, A?) будет лежать на луче, исходящем из центра O и проходящем через точку-прообраз (A). Расстояние от центра до образа будет в 2 раза больше расстояния от центра до прообраза ($OA_1 = 2 \cdot OA$).

Порядок построения точки A?:
1. Проводим луч OA.
2. Измеряем длину отрезка OA.
3. На луче OA откладываем от точки O отрезок OA?, длина которого в два раза больше длины отрезка OA.

Аналогично строятся точки B?, C? и D? на лучах OB, OC и OD соответственно.

Ответ: Для построения точек A?, B?, C?, D? для каждой из исходных точек A, B, C, D проводится луч с началом в O. На этом луче откладывается точка-образ на расстоянии от O, вдвое большем, чем расстояние до исходной точки. Точки A?, B?, C?, D? лежат на лучах OA, OB, OC, OD, и выполняются равенства: $OA_1 = 2 \cdot OA$, $OB_1 = 2 \cdot OB$, $OC_1 = 2 \cdot OC$, $OD_1 = 2 \cdot OD$.

Требуется выполнить то же задание, но для гомотетии с центром в точке O и коэффициентом $k=-3$.

Векторные равенства для этого случая:
$\vec{OA_1} = -3 \cdot \vec{OA}$
$\vec{OB_1} = -3 \cdot \vec{OB}$
$\vec{OC_1} = -3 \cdot \vec{OC}$
$\vec{OD_1} = -3 \cdot \vec{OD}$

Так как коэффициент $k=-3$ отрицателен, каждая точка-образ (например, A?) будет лежать на прямой, проходящей через центр O и точку-прообраз (A), но с противоположной стороны от центра O. Расстояние от центра до образа будет в $|-3| = 3$ раза больше расстояния от центра до прообраза ($OA_1 = 3 \cdot OA$).

Порядок построения точки A?:
1. Проводим прямую, проходящую через точки O и A.
2. Измеряем длину отрезка OA.
3. На прямой OA откладываем от точки O в направлении, противоположном лучу OA, отрезок OA?, длина которого в три раза больше длины отрезка OA.

Аналогично строятся точки B?, C? и D?, но на прямых OB, OC и OD соответственно, в направлениях, противоположных лучам OB, OC и OD.

Ответ: Для построения точек A?, B?, C?, D? для каждой из исходных точек A, B, C, D проводится прямая через центр O. На этой прямой в направлении, противоположном исходной точке относительно центра O, откладывается точка-образ на расстоянии от O, втрое большем, чем расстояние до исходной точки. Точки A?, B?, C?, D? лежат на лучах, дополнительных к лучам OA, OB, OC, OD, и выполняются равенства: $OA_1 = 3 \cdot OA$, $OB_1 = 3 \cdot OB$, $OC_1 = 3 \cdot OC$, $OD_1 = 3 \cdot OD$.

1310 Отметьте четыре точки: О, А₁, В₁, С₁. а) Постройте точки А₁, В₁, С так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k = 3 точки А, В и С перешли соответственно в точки А₁, В₁, С₁; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, равным –2; 1 и 13.

Для решения этой задачи необходимо понимать, что такое гомотетия. Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

Сначала выберем на плоскости произвольные четыре точки $O$, $A$, $B$ и $C$. Для наглядности лучше расположить их так, чтобы они не лежали на одной прямой.

а) Построение для гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k=3$.

Согласно определению гомотетии, для каждой точки (например, для точки $A$) ее образ, точка $A_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OA_1} = 3 \cdot \vec{OA}$.

Это означает следующее:

• Поскольку коэффициент $k=3$ положительный, точка $A_1$ будет лежать на луче $OA$ (то есть в том же направлении от $O$, что и $A$).
• Расстояние от центра $O$ до точки $A_1$ будет в 3 раза больше расстояния от $O$ до $A$, то есть $|OA_1| = 3 \cdot |OA|$.

Алгоритм построения:

1. Проводим луч $OA$, начинающийся в точке $O$ и проходящий через точку $A$.
2. На этом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OA_1$, длина которого в три раза больше длины отрезка $OA$. Полученная точка $A_1$ является образом точки $A$.
3. Аналогично строим точки $B_1$ и $C_1$. Проводим лучи $OB$ и $OC$. На луче $OB$ откладываем отрезок $|OB_1| = 3 \cdot |OB|$. На луче $OC$ откладываем отрезок $|OC_1| = 3 \cdot |OC|$.

Ответ: Точки $A_1, B_1, C_1$ строятся на лучах $OA, OB, OC$ соответственно, на расстоянии от центра $O$, втрое превышающем расстояния $|OA|, |OB|, |OC|$.

б) Выполнение задания для других коэффициентов гомотетии.

Для коэффициента $k = -2$:

Образ точки $A$, точка $A_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OA_1} = -2 \cdot \vec{OA}$.

• Поскольку коэффициент $k=-2$ отрицательный, вектор $\vec{OA_1}$ направлен противоположно вектору $\vec{OA}$. Это значит, что точка $A_1$ будет лежать на прямой $OA$, но по другую сторону от центра $O$.
• Расстояние от центра $O$ до точки $A_1$ будет равно $|-2| \cdot |OA| = 2 \cdot |OA|$.

Алгоритм построения:

1. Проводим прямую через точки $O$ и $A$.
2. На этой прямой строим луч, противоположный лучу $OA$ (он начинается в точке $O$ и идет в обратную сторону).
3. На этом противоположном луче от точки $O$ откладываем отрезок $OA_1$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OA$.
4. Аналогично строим точки $B_1$ и $C_1$: они будут лежать на лучах, противоположных лучам $OB$ и $OC$, на расстояниях $|OB_1| = 2 \cdot |OB|$ и $|OC_1| = 2 \cdot |OC|$ соответственно.

Для коэффициента $k = 1$:

Образ точки $A$, точка $A_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OA_1} = 1 \cdot \vec{OA}$, то есть $\vec{OA_1} = \vec{OA}$.

Это равенство означает, что точка $A_1$ совпадает с точкой $A$. Аналогично, точка $B_1$ совпадает с $B$, и $C_1$ совпадает с $C$. Гомотетия с коэффициентом $k=1$ является тождественным преобразованием, то есть оставляет все точки на своих местах.

Для коэффициента $k = \frac{1}{3}$:

Образ точки $A$, точка $A_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OA_1} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA}$.

• Поскольку коэффициент $k=\frac{1}{3}$ положительный, точка $A_1$ будет лежать на том же луче $OA$.
• Так как $|k| < 1$, точка $A_1$ будет лежать между точками $O$ и $A$.
• Расстояние от центра $O$ до точки $A_1$ будет равно $\frac{1}{3}$ расстояния от $O$ до $A$, то есть $|OA_1| = \frac{1}{3} \cdot |OA|$.

Алгоритм построения:

1. На отрезке $OA$ находим точку $A_1$ так, чтобы ее расстояние от $O$ составляло одну треть длины всего отрезка $OA$.
2. Аналогично строим точки $B_1$ и $C_1$. Точка $B_1$ лежит на отрезке $OB$ так, что $|OB_1| = \frac{1}{3} \cdot |OB|$. Точка $C_1$ лежит на отрезке $OC$ так, что $|OC_1| = \frac{1}{3} \cdot |OC|$.

Ответ: Для $k=-2$ точки $A_1, B_1, C_1$ строятся на лучах, противоположных лучам $OA, OB, OC$, на удвоенном расстоянии от $O$. Для $k=1$ точки $A_1, B_1, C_1$ совпадают с исходными точками $A, B, C$. Для $k=\frac{1}{3}$ точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на отрезках $OA, OB, OC$ на расстоянии от $O$, равном одной трети от исходного.

1311 Отметьте точку О и начертите прямую l так, чтобы О ∉ l. Постройте прямую, в которую переходит прямая l при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) k = 2; б) k = –0,5; в) k = –3; г) k = 3.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Поскольку по условию центр гомотетии, точка $O$, не лежит на прямой $l$ ($O \notin l$), образом прямой $l$ будет прямая $l'$, параллельная прямой $l$.

Для построения прямой $l'$ достаточно найти образ любой одной точки $M$, лежащей на прямой $l$. Пусть это будет точка $M'$. Тогда искомая прямая $l'$ будет проходить через точку $M'$ параллельно прямой $l$. Наиболее удобной точкой для построения является основание перпендикуляра, опущенного из центра гомотетии $O$ на прямую $l$.

Общий алгоритм построения:

1. Отметить точку $O$ и начертить прямую $l$, не проходящую через $O$.
2. Из точки $O$ опустить перпендикуляр на прямую $l$. Точку их пересечения обозначить $H$.
3. На прямой $OH$ построить точку $H'$ — образ точки $H$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$. Точка $H'$ определяется из условия $\vec{OH'} = k \cdot \vec{OH}$.
   • Если $k > 0$, точка $H'$ лежит на луче $OH$, и расстояние $|OH'| = k \cdot |OH|$.
   • Если $k < 0$, точка $H'$ лежит на луче, противоположном лучу $OH$, и расстояние $|OH'| = |k| \cdot |OH|$.
4. Через точку $H'$ провести прямую $l'$, параллельную прямой $l$. Эта прямая и есть искомая.

а) k=2;

Построим образ прямой $l$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k=2$.

1. Опустим перпендикуляр из точки $O$ на прямую $l$ и обозначим точку их пересечения $H$.
2. Так как $k=2 > 0$, точка $H'$ (образ точки $H$) будет лежать на луче $OH$.
3. Отложим на луче $OH$ отрезок $OH'$ так, чтобы его длина была в два раза больше длины отрезка $OH$: $|OH'| = 2 \cdot |OH|$.
4. Через полученную точку $H'$ проведем прямую $l'$, параллельную прямой $l$.

Ответ: Искомая прямая $l'$ параллельна прямой $l$ и расположена с той же стороны от точки $O$, что и прямая $l$, на расстоянии от $O$ в два раза большем, чем расстояние от $O$ до $l$.

б) k=-0,5;

Построим образ прямой $l$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k=-0,5$.

1. Опустим перпендикуляр из точки $O$ на прямую $l$ и обозначим точку их пересечения $H$.
2. Так как $k=-0,5 < 0$, точка $H'$ будет лежать на прямой $OH$, но по другую сторону от точки $O$, чем точка $H$.
3. Отложим на луче, противоположном лучу $OH$, отрезок $OH'$ так, чтобы его длина была равна половине длины отрезка $OH$: $|OH'| = |-0,5| \cdot |OH| = 0,5 \cdot |OH|$.
4. Через полученную точку $H'$ проведем прямую $l'$, параллельную прямой $l$.

Ответ: Искомая прямая $l'$ параллельна прямой $l$ и расположена с противоположной стороны от точки $O$ относительно прямой $l$, на расстоянии от $O$ в два раза меньшем, чем расстояние от $O$ до $l$.

в) k=-3;

Построим образ прямой $l$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k=-3$.

1. Опустим перпендикуляр из точки $O$ на прямую $l$ и обозначим точку их пересечения $H$.
2. Так как $k=-3 < 0$, точка $H'$ будет лежать на прямой $OH$, но по другую сторону от точки $O$, чем точка $H$.
3. Отложим на луче, противоположном лучу $OH$, отрезок $OH'$ так, чтобы его длина была в три раза больше длины отрезка $OH$: $|OH'| = |-3| \cdot |OH| = 3 \cdot |OH|$.
4. Через полученную точку $H'$ проведем прямую $l'$, параллельную прямой $l$.

Ответ: Искомая прямая $l'$ параллельна прямой $l$ и расположена с противоположной стороны от точки $O$ относительно прямой $l$, на расстоянии от $O$ в три раза большем, чем расстояние от $O$ до $l$.

г) k=3.

Построим образ прямой $l$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k=3$.

1. Опустим перпендикуляр из точки $O$ на прямую $l$ и обозначим точку их пересечения $H$.
2. Так как $k=3 > 0$, точка $H'$ будет лежать на луче $OH$.
3. Отложим на луче $OH$ отрезок $OH'$ так, чтобы его длина была в три раза больше длины отрезка $OH$: $|OH'| = 3 \cdot |OH|$.
4. Через полученную точку $H'$ проведем прямую $l'$, параллельную прямой $l$.

Ответ: Искомая прямая $l'$ параллельна прямой $l$ и расположена с той же стороны от точки $O$, что и прямая $l$, на расстоянии от $O$ в три раза большем, чем расстояние от $O$ до $l$.