Страница 351 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1325 Хорды AB и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, BE = 2, CE = 2,5; б) АЕ = 16, BE = 9, CE = ED; в) АЕ = 0,2, ВЕ = 0,5, CE = 0,4.

Для решения этой задачи используется теорема о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, произведения отрезков, на которые делятся хорды точкой пересечения, равны между собой. Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $E$, это свойство выражается формулой:

$AE \cdot BE = CE \cdot ED$

Используя эту формулу, решим каждый пункт задачи.

а) Дано: $AE=5$, $BE=2$, $CE=2,5$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 \cdot 2 = 2,5 \cdot ED$

$10 = 2,5 \cdot ED$

Теперь выразим $ED$:

$ED = \frac{10}{2,5} = 4$

Ответ: 4.

б) Дано: $AE=16$, $BE=9$, $CE = ED$.

Пусть $CE = ED = x$. Подставим значения в формулу:

$16 \cdot 9 = x \cdot x$

$144 = x^2$

Так как длина отрезка является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{144} = 12$

Следовательно, $ED = 12$.

Ответ: 12.

в) Дано: $AE=0,2$, $BE=0,5$, $CE=0,4$.

Подставим известные значения в формулу:

$0,2 \cdot 0,5 = 0,4 \cdot ED$

$0,1 = 0,4 \cdot ED$

Выразим $ED$:

$ED = \frac{0,1}{0,4} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.

1326 Диаметр AA₁ окружности перпендикулярен к хорде BB₁ и пересекает её в точке С. Найдите ВВ₁, если АС = 4 см, СА₁ = 8 см.

В данной задаче используются два ключевых свойства окружности: свойство пересекающихся хорд и свойство диаметра, перпендикулярного хорде.

1. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде. По условию, диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Точка их пересечения C является серединой хорды $BB_1$. Следовательно, $BC = CB_1$.

2. Свойство пересекающихся хорд. Произведение отрезков, на которые делится одна хорда точкой пересечения, равно произведению отрезков, на которые делится другая хорда. В нашем случае хорды $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке C. Таким образом, мы можем записать равенство: $AC \cdot CA_1 = BC \cdot CB_1$

3. Вычисление. Из условия задачи нам даны длины отрезков диаметра: $AC = 4$ см и $CA_1 = 8$ см. Поскольку $BC = CB_1$, мы можем переписать равенство из пункта 2 как: $AC \cdot CA_1 = BC^2$

Подставим известные значения в формулу: $4 \cdot 8 = BC^2$ $32 = BC^2$

Теперь найдем длину отрезка BC, извлекая квадратный корень: $BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как точка C делит хорду $BB_1$ пополам, то длина всей хорды равна удвоенной длине отрезка BC: $BB_1 = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

1327 Пользуясь теорией об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Для доказательства утверждения рассмотрим окружность, её диаметр $AB$ и произвольную точку $C$ на этой окружности. Из точки $C$ опустим перпендикуляр $CH$ на диаметр $AB$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра и лежит на отрезке $AB$.

Дано:
Окружность с диаметром $AB$.
Точка $C$ лежит на окружности.
$CH$ — перпендикуляр к $AB$, то есть $CH \perp AB$.

Доказать:
Длина перпендикуляра $CH$ является средним пропорциональным для длин отрезков $AH$ и $HB$, на которые точка $H$ делит диаметр. Математически это выражается формулой: $CH^2 = AH \cdot HB$.

Доказательство:

1. Для того чтобы использовать теорему о пересекающихся хордах, нам нужны две пересекающиеся хорды. Диаметр $AB$ — это первая хорда.

2. Построим вторую хорду. Продлим отрезок $CH$ за точку $H$ до его пересечения с окружностью в точке $D$. Отрезок $CD$ является хордой окружности.

3. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $H$. По теореме об отрезках пересекающихся хорд, произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду. Таким образом, мы можем записать равенство: $AH \cdot HB = CH \cdot HD$

4. Теперь рассмотрим свойство хорды $CD$. По построению, она перпендикулярна диаметру $AB$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $CD$. Это означает, что длины отрезков $CH$ и $HD$ равны: $CH = HD$

5. Подставим $HD = CH$ в равенство, полученное на шаге 3: $AH \cdot HB = CH \cdot CH$

6. Упрощая, получаем: $CH^2 = AH \cdot HB$

Это равенство по определению означает, что $CH$ является средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков $AH$ и $HB$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Путём построения хорды $CD$, перпендикулярной диаметру $AB$ и проходящей через точку $C$, и применения теоремы о пересекающихся хордах ($AH \cdot HB = CH \cdot HD$) и свойства перпендикулярности диаметра и хорды ($CH = HD$), было получено искомое соотношение $CH^2 = AH \cdot HB$. Это доказывает, что перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

1328 В треугольнике ABC сторона AB равна 6, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 4. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку С и касается АB, причём одна касается в точке А, а другая — в точке B.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$. По условию, длина стороны $AB$ равна 6, следовательно, длины отрезков $AM$ и $MB$ равны $AM = MB = \frac{6}{2} = 3$. Медиана, проведённая к стороне $AB$, это отрезок $CM$, и его длина по условию равна $CM = 4$.

В задаче рассматриваются две окружности. Обозначим их $\omega_1$ и $\omega_2$.

• Окружность $\omega_1$ проходит через точку $C$ и касается прямой $AB$ в точке $A$.
• Окружность $\omega_2$ проходит через точку $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$.

Обе окружности проходят через точку $C$. Пусть $D$ — вторая точка их пересечения. Отрезок $CD$ является их общей хордой, длину которой требуется найти.

Прямая, содержащая общую хорду двух пересекающихся окружностей, называется их радикальной осью. Радикальная ось — это геометрическое место точек, степени которых относительно этих двух окружностей равны.

Найдём степень точки $M$ (середины отрезка $AB$) относительно каждой из окружностей. Степень точки, лежащей на касательной к окружности, равна квадрату расстояния от этой точки до точки касания.

Точка $M$ лежит на прямой $AB$, которая является касательной к окружности $\omega_1$ в точке $A$. Следовательно, степень точки $M$ относительно $\omega_1$ равна квадрату длины отрезка $MA$:$P_{\omega_1}(M) = MA^2 = 3^2 = 9$.

Аналогично, точка $M$ лежит на прямой $AB$, которая является касательной к окружности $\omega_2$ в точке $B$. Степень точки $M$ относительно $\omega_2$ равна квадрату длины отрезка $MB$:$P_{\omega_2}(M) = MB^2 = 3^2 = 9$.

Поскольку степени точки $M$ относительно обеих окружностей равны ($P_{\omega_1}(M) = P_{\omega_2}(M) = 9$), точка $M$ лежит на радикальной оси этих окружностей. Радикальной осью является прямая $CD$.

Таким образом, точки $C$, $M$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что общая хорда $CD$ лежит на прямой, содержащей медиану $CM$.

Степень точки $M$ относительно окружности, через которую проходит секущая $CMD$, также выражается через длины отрезков. Так как степень точки $M$ равна 9 (положительное число), точка $M$ лежит на прямой $CD$ вне отрезка $CD$. Это означает, что точки $C$ и $D$ находятся по одну сторону от точки $M$. Для такой конфигурации степень точки равна произведению длин отрезков от точки до точек пересечения с окружностью:$P(M) = MC \cdot MD$.

Мы знаем, что $P(M) = 9$ и $MC = 4$. Подставим эти значения в формулу:$4 \cdot MD = 9$.

Отсюда находим длину отрезка $MD$:$MD = \frac{9}{4} = 2.25$.

Поскольку точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от $M$ на одной прямой, длина хорды $CD$ равна модулю разности расстояний от точки $M$ до точек $C$ и $D$:$CD = |MC - MD| = |4 - \frac{9}{4}| = |\frac{16}{4} - \frac{9}{4}| = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

1329 Через точку А проведены касательная AB (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) AB = 4 см, АС = 2 см; б) AB = 5 см, АD = 10 см.

Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Эта теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от точки A до точки касания B равен произведению длин отрезков секущей от точки A до точек ее пересечения с окружностью C и D.

Математически это выражается формулой: $AB^2 = AC \cdot AD$.

Длина искомого отрезка CD вычисляется как разность длин отрезков AD и AC: $CD = AD - AC$.

а)

По условию дано: $AB = 4$ см, $AC = 2$ см.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, чтобы найти длину отрезка $AD$:

$AB^2 = AC \cdot AD$

$4^2 = 2 \cdot AD$

$16 = 2 \cdot AD$

Выразим $AD$:

$AD = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $CD$:

$CD = AD - AC = 8 \text{ см} - 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.

б)

По условию дано: $AB = 5$ см, $AD = 10$ см.

Воспользуемся той же теоремой, чтобы найти длину отрезка $AC$:

$AB^2 = AC \cdot AD$

$5^2 = AC \cdot 10$

$25 = 10 \cdot AC$

Выразим $AC$:

$AC = \frac{25}{10} = 2,5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CD$:

$CD = AD - AC = 10 \text{ см} - 2,5 \text{ см} = 7,5 \text{ см}$.

Ответ: 7,5 см.