Номер 1329, страница 351 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1329, страница 351.

1329 Через точку А проведены касательная AB (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) AB = 4 см, АС = 2 см; б) AB = 5 см, АD = 10 см.

Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Эта теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от точки A до точки касания B равен произведению длин отрезков секущей от точки A до точек ее пересечения с окружностью C и D.

Математически это выражается формулой: $AB^2 = AC \cdot AD$.

Длина искомого отрезка CD вычисляется как разность длин отрезков AD и AC: $CD = AD - AC$.

а)

По условию дано: $AB = 4$ см, $AC = 2$ см.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, чтобы найти длину отрезка $AD$:

$AB^2 = AC \cdot AD$

$4^2 = 2 \cdot AD$

$16 = 2 \cdot AD$

Выразим $AD$:

$AD = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $CD$:

$CD = AD - AC = 8 \text{ см} - 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.

б)

По условию дано: $AB = 5$ см, $AD = 10$ см.

Воспользуемся той же теоремой, чтобы найти длину отрезка $AC$:

$AB^2 = AC \cdot AD$

$5^2 = AC \cdot 10$

$25 = 10 \cdot AC$

Выразим $AC$:

$AC = \frac{25}{10} = 2,5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CD$:

$CD = AD - AC = 10 \text{ см} - 2,5 \text{ см} = 7,5 \text{ см}$.

Ответ: 7,5 см.