Номер 1330, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1330, страница 352.

1330 Через точку М — внешнюю относительно окружности с центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Докажите, что MA ⋅ MВ = = МО² – R².

Для доказательства данного утверждения, которое является частным случаем теоремы о степени точки относительно окружности, воспользуемся методом, основанным на теореме Пифагора.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $M$ расположена вне этой окружности. Через $M$ проведена секущая, которая пересекает окружность в точках $A$ и $B$. Без ограничения общности, будем считать, что точка $A$ лежит между точками $M$ и $B$.

Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляр $OK$ к хорде $AB$. Согласно свойству окружности, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Таким образом, точка $K$ является серединой отрезка $AB$, и выполняется равенство $AK = KB$.

Выразим длины отрезков $MA$ и $MB$ через отрезки $MK$ и $AK$. Исходя из расположения точек на прямой, имеем:

$MA = MK - AK$

$MB = MK + KB = MK + AK$

Теперь найдем произведение длин этих отрезков:

$MA \cdot MB = (MK - AK)(MK + AK)$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:

$MA \cdot MB = MK^2 - AK^2$ (1)

Далее рассмотрим прямоугольные треугольники, образовавшиеся в нашей конструкции.

Треугольник $\triangle OKM$ является прямоугольным, поскольку $OK \perp AB$ по построению. Применим к нему теорему Пифагора:

$MO^2 = OK^2 + MK^2$

Из этого равенства выразим $MK^2$:

$MK^2 = MO^2 - OK^2$ (2)

Треугольник $\triangle OKA$ также является прямоугольным. Его гипотенуза $OA$ — это радиус окружности, т.е. $OA = R$. Применим теорему Пифагора к $\triangle OKA$:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

$R^2 = OK^2 + AK^2$

Отсюда выразим $AK^2$:

$AK^2 = R^2 - OK^2$ (3)

Теперь подставим выражения для $MK^2$ из равенства (2) и для $AK^2$ из равенства (3) в наше исходное уравнение (1):

$MA \cdot MB = (MO^2 - OK^2) - (R^2 - OK^2)$

Раскроем скобки:

$MA \cdot MB = MO^2 - OK^2 - R^2 + OK^2$

Взаимно уничтожив члены $-OK^2$ и $+OK^2$, получим искомое соотношение:

$MA \cdot MB = MO^2 - R^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $MA \cdot MB = MO^2 - R^2$ доказано.