Номер 1331, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1331, страница 352.

1331 Через точку М — внутреннюю относительно окружности с центром О и радиусом R, проходит хорда АВ. Докажите, что MA ⋅ MВ = R² – МО².

Для доказательства данного утверждения построим вспомогательные элементы и применим теорему Пифагора.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $M$ является внутренней точкой окружности, и через нее проходит хорда $AB$.

1. Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляр $OK$ на хорду $AB$. Точка $K$ — основание перпендикуляра. Согласно свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, $AK = KB$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKA$ (угол $\angle OKA = 90^\circ$). Гипотенуза $OA$ равна радиусу окружности $R$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

Подставляя $OA=R$, получаем:

$R^2 = OK^2 + AK^2$

Из этого уравнения выразим $AK^2$:

$AK^2 = R^2 - OK^2$

3. Теперь рассмотрим произведение длин отрезков $MA$ и $MB$. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Возможны два случая расположения точки $M$ относительно середины хорды, точки $K$.

• Если $M$ находится между $A$ и $K$, то $MA = AK - MK$ и $MB = KB + MK = AK + MK$.
• Если $K$ находится между $A$ и $M$, то $MA = AK + MK$ и $MB = KB - MK = AK - MK$.

В обоих случаях произведение $MA \cdot MB$ вычисляется как произведение суммы и разности одних и тех же величин:

$MA \cdot MB = (AK - MK)(AK + MK)$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем:

$MA \cdot MB = AK^2 - MK^2$

4. Подставим в полученное равенство выражение для $AK^2$ из пункта 2:

$MA \cdot MB = (R^2 - OK^2) - MK^2 = R^2 - (OK^2 + MK^2)$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (угол $\angle OKM = 90^\circ$, так как $OK \perp AB$). По теореме Пифагора для этого треугольника:

$MO^2 = OK^2 + MK^2$

6. Заменим сумму $OK^2 + MK^2$ в выражении для $MA \cdot MB$ на $MO^2$:

$MA \cdot MB = R^2 - MO^2$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: $MA \cdot MB = R^2 - MO^2$, что и требовалось доказать.