Номер 1328, страница 351 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1328, страница 351.

1328 В треугольнике ABC сторона AB равна 6, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 4. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку С и касается АB, причём одна касается в точке А, а другая — в точке B.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$. По условию, длина стороны $AB$ равна 6, следовательно, длины отрезков $AM$ и $MB$ равны $AM = MB = \frac{6}{2} = 3$. Медиана, проведённая к стороне $AB$, это отрезок $CM$, и его длина по условию равна $CM = 4$.

В задаче рассматриваются две окружности. Обозначим их $\omega_1$ и $\omega_2$.

• Окружность $\omega_1$ проходит через точку $C$ и касается прямой $AB$ в точке $A$.
• Окружность $\omega_2$ проходит через точку $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$.

Обе окружности проходят через точку $C$. Пусть $D$ — вторая точка их пересечения. Отрезок $CD$ является их общей хордой, длину которой требуется найти.

Прямая, содержащая общую хорду двух пересекающихся окружностей, называется их радикальной осью. Радикальная ось — это геометрическое место точек, степени которых относительно этих двух окружностей равны.

Найдём степень точки $M$ (середины отрезка $AB$) относительно каждой из окружностей. Степень точки, лежащей на касательной к окружности, равна квадрату расстояния от этой точки до точки касания.

Точка $M$ лежит на прямой $AB$, которая является касательной к окружности $\omega_1$ в точке $A$. Следовательно, степень точки $M$ относительно $\omega_1$ равна квадрату длины отрезка $MA$:$P_{\omega_1}(M) = MA^2 = 3^2 = 9$.

Аналогично, точка $M$ лежит на прямой $AB$, которая является касательной к окружности $\omega_2$ в точке $B$. Степень точки $M$ относительно $\omega_2$ равна квадрату длины отрезка $MB$:$P_{\omega_2}(M) = MB^2 = 3^2 = 9$.

Поскольку степени точки $M$ относительно обеих окружностей равны ($P_{\omega_1}(M) = P_{\omega_2}(M) = 9$), точка $M$ лежит на радикальной оси этих окружностей. Радикальной осью является прямая $CD$.

Таким образом, точки $C$, $M$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что общая хорда $CD$ лежит на прямой, содержащей медиану $CM$.

Степень точки $M$ относительно окружности, через которую проходит секущая $CMD$, также выражается через длины отрезков. Так как степень точки $M$ равна 9 (положительное число), точка $M$ лежит на прямой $CD$ вне отрезка $CD$. Это означает, что точки $C$ и $D$ находятся по одну сторону от точки $M$. Для такой конфигурации степень точки равна произведению длин отрезков от точки до точек пересечения с окружностью:$P(M) = MC \cdot MD$.

Мы знаем, что $P(M) = 9$ и $MC = 4$. Подставим эти значения в формулу:$4 \cdot MD = 9$.

Отсюда находим длину отрезка $MD$:$MD = \frac{9}{4} = 2.25$.

Поскольку точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от $M$ на одной прямой, длина хорды $CD$ равна модулю разности расстояний от точки $M$ до точек $C$ и $D$:$CD = |MC - MD| = |4 - \frac{9}{4}| = |\frac{16}{4} - \frac{9}{4}| = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.