Номер 1332, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры. Параграф 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. 137. Применение подобия к решению задач - номер 1332, страница 352.

Условие.

1332 Две окружности пересекаются в точках А и В. На прямой АВ взята точка K — внешняя относительно данных окружностей. Через точку K проведены две секущие m и l так, что m пересекает одну окружность в точках С и D, а l пересекает другую окружность в точках Е и F. Докажите, что KС ⋅ KD = KЕ ⋅ KF.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся понятием степени точки относительно окружности и свойством радикальной оси двух окружностей.

Пусть первая окружность, которую пересекает секущая $m$ в точках $C$ и $D$, будет $\omega_1$, а вторая окружность, которую пересекает секущая $l$ в точках $E$ и $F$, будет $\omega_2$. Обе окружности пересекаются в точках $A$ и $B$.

Прямая $AB$, проходящая через точки пересечения двух окружностей, является их радикальной осью. По определению, степень любой точки, лежащей на радикальной оси, относительно обеих окружностей одинакова.

По условию, точка $K$ лежит на прямой $AB$, следовательно, точка $K$ находится на радикальной оси окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$.

Рассмотрим точку $K$ и окружность $\omega_1$. Через точку $K$ проведены две секущие к этой окружности: прямая $m$, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$, и прямая $AB$, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$.

По теореме о степени точки относительно окружности (или теореме о двух секущих), произведение отрезков секущей от точки до точек пересечения с окружностью постоянно. Таким образом, для точки $K$ и окружности $\omega_1$ справедливо равенство: $KC \cdot KD = KA \cdot KB$.

Теперь рассмотрим точку $K$ и окружность $\omega_2$. Через точку $K$ также проведены две секущие к этой окружности: прямая $l$, пересекающая окружность в точках $E$ и $F$, и прямая $AB$, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$.

Аналогично, по теореме о степени точки относительно окружности $\omega_2$, получаем: $KE \cdot KF = KA \cdot KB$.

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $KC \cdot KD = KA \cdot KB$

2) $KE \cdot KF = KA \cdot KB$

Так как правые части обоих равенств равны ($KA \cdot KB$), то равны и их левые части: $KC \cdot KD = KE \cdot KF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.