Номер 1339, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1339, страница 353.

1339 Через данную точку А окружности проведены всевозможные хорды. Используя гомотетию с центром в точке А, докажите, что множество точек, делящих эти хорды в отношении 1 : 3, считая от точки А, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности. Через точку $A$ проведена произвольная хорда $AB$, где $B$ — некоторая точка на окружности $\omega$.

По условию, на каждой такой хорде $AB$ находится точка $M$, которая делит её в отношении $1:3$, считая от точки $A$. Это означает, что $AM : MB = 1:3$. Из этого соотношения следует, что длина отрезка $AM$ составляет одну четвертую часть длины всей хорды $AB$, так как $AB = AM + MB = AM + 3AM = 4AM$, откуда $AM = \frac{1}{4}AB$.

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Следовательно, можно записать векторное равенство, связывающее эти точки: $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AB}$.

Данное векторное равенство является определением гомотетии (преобразования подобия) с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Обозначим эту гомотетию как $H_A^{1/4}$. Таким образом, каждая точка $M$ искомого множества является образом некоторой точки $B$ исходной окружности при этой гомотетии: $M = H_A^{1/4}(B)$.

Когда точка $B$ пробегает всю окружность $\omega$, множество образов $M$ образует фигуру, которая является образом окружности $\omega$ при гомотетии $H_A^{1/4}$. Согласно свойству гомотетии, образом окружности является окружность. Следовательно, искомое множество точек есть окружность, что и требовалось доказать.

Теперь определим положение центра этой новой окружности. Пусть новая окружность называется $\omega'$. Ее центр $O'$ является образом центра $O$ исходной окружности $\omega$ при той же гомотетии $H_A^{1/4}$. Это означает, что для точки $O'$ выполняется следующее векторное равенство: $\vec{AO'} = \frac{1}{4}\vec{AO}$.

Из этого равенства следует, что центр новой окружности $O'$ лежит на отрезке $AO$, соединяющем точку $A$ и центр исходной окружности $O$. При этом расстояние $AO'$ составляет $\frac{1}{4}$ от расстояния $AO$. Иными словами, точка $O'$ делит отрезок $AO$ в отношении $1:3$, считая от точки $A$.

Ответ: Искомое множество точек является окружностью. Центр этой окружности находится на отрезке, соединяющем точку $A$ с центром исходной окружности, и делит этот отрезок в отношении $1:3$, считая от точки $A$.