Номер 1340, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1340, страница 353.

1340 Пусть М — точка, делящая медиану АА₁ треугольника АВС в отношении 2 : 1, считая от вершины, В₁ — середина стороны АС треугольника. Докажите, не используя свойство медиан, что при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом k = – 12 отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, причём точка А переходит в точку А₁, а точка В — в точку В₁.

Для доказательства утверждения мы воспользуемся определением гомотетии в векторной форме. Гомотетией с центром в точке $M$ и коэффициентом $k$ называется преобразование плоскости, при котором любая точка $X$ переходит в такую точку $X'$, что выполняется векторное равенство $\vec{MX'} = k \cdot \vec{MX}$. В нашей задаче $k = -\frac{1}{2}$.

Сначала докажем, что при этой гомотетии точка $A$ переходит в точку $A_1$.По условию, $M$ — точка на медиане $AA_1$, делящая её в отношении $AM : MA_1 = 2 : 1$, считая от вершины $A$. Это означает, что точки $A$, $M$ и $A_1$ лежат на одной прямой, причём $M$ находится между $A$ и $A_1$. Следовательно, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Отношение их длин составляет $|\vec{MA_1}| : |\vec{MA}| = 1:2$. Отсюда следует векторное соотношение: $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$.Это равенство в точности соответствует определению гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. Таким образом, точка $A$ действительно переходит в точку $A_1$.

Теперь докажем, что точка $B$ переходит в точку $B_1$. Для этого нужно показать, что выполняется равенство $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$.Введём базисные векторы, отложенные от вершины $A$: пусть $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{c}$.

Выразим через базисные векторы положения точек $A_1$, $B_1$ и $M$ относительно точки $A$:

• $A_1$ — середина $BC$, поэтому $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• $B_1$ — середина $AC$, поэтому $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
• $M$ делит $AA_1$ в отношении $2:1$, поэтому $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AA_1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь найдём векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MB_1}$, выразив их через разность векторов, идущих из начала координат $A$:
$\vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$.
$\vec{MB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$.

Проверим, выполняется ли для этих векторов условие гомотетии $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$.Найдём произведение $-\frac{1}{2}\vec{MB}$:
$-\frac{1}{2}\vec{MB} = -\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\vec{c}\right) = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$.
Мы видим, что полученное выражение в точности равно вектору $\vec{MB_1}$. Следовательно, равенство $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$ верно, и точка $B$ переходит в точку $B_1$.

Поскольку при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$ концы отрезка $AB$ (точки $A$ и $B$) переходят в точки $A_1$ и $B_1$ соответственно, то по свойству гомотетии весь отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$.Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Доказано, что при гомотетии с центром в точке $M$ и коэффициентом $k=-\frac{1}{2}$ отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$, причём точка $A$ переходит в точку $A_1$, а точка $B$ — в точку $B_1$.