Номер 1333, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1333, страница 352.

1333 На клетчатой бумаге с клетками 1 × 1 см изображены окружности и связанные с ними хорды, секущие или касательные (рис. 411). Найдите: а) длины отрезка МА секущей и хорды АВ (рис. 411, а); б) длину отрезка касательной АМ (рис. 411, б); в) длину отрезка АМ хорды (рис. 411, в).

а)

Для нахождения длин отрезков MA и AB определим координаты точек M, A и B по клеткам. Примем, что одна клетка соответствует 1 см. Пусть начало координат находится в левом нижнем углу сетки на рисунке 411, а). Тогда точка M имеет координаты (1, 1). Точка A имеет координаты (3, 2). Точка B имеет координаты (5, 3).

Длину отрезка MA найдем по теореме Пифагора (или по формуле расстояния между двумя точками). Разница координат по оси x составляет $\Delta x = 3 - 1 = 2$ см, а по оси y составляет $\Delta y = 2 - 1 = 1$ см. Длина MA равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1: $MA = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ см.

Аналогично найдем длину хорды AB. Разница координат по оси x для точек A и B составляет $\Delta x = 5 - 3 = 2$ см, а по оси y составляет $\Delta y = 3 - 2 = 1$ см. Длина AB также равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1: $AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ см.

Примечание: стоит отметить, что если определять параметры окружности по сетке (центр в точке (5,1), радиус 2), то точка A(3,2) не лежит на этой окружности, что указывает на неточность в рисунке. Решение основано на координатах точек, указанных на сетке.

Ответ: $MA = \sqrt{5}$ см, $AB = \sqrt{5}$ см.

б)

Для нахождения длины отрезка касательной AM определим координаты точек A и M по клеткам. Пусть начало координат находится в левом нижнем углу сетки на рисунке 411, б). Тогда точка M имеет координаты (1, 2). Точка A имеет координаты (3, 4).

Длину отрезка AM найдем по теореме Пифагора. Разница координат по оси x составляет $\Delta x = 3 - 1 = 2$ см, а по оси y составляет $\Delta y = 4 - 2 = 2$ см. Длина AM равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2: $AM = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Примечание: в данном задании также присутствует неточность. Центр изображенной окружности находится в точке (5,2), а ее радиус равен 4. При этих параметрах точка M(1,2) лежит на окружности, а значит, не может быть внешней точкой, из которой проведена касательная. Кроме того, точка A(3,4) не лежит на данной окружности. Решение основано на вычислении расстояния между точками M и A, указанными на сетке.

Ответ: $AM = 2\sqrt{2}$ см.

в)

В задании в) требуется найти "длину отрезка AM хорды", однако на рисунке 411, в) точка A не обозначена. Вероятно, в условии допущена опечатка. Наиболее естественным вопросом для данной конфигурации является нахождение длины всей хорды, проходящей через точку M.

Определим параметры окружности и хорды по клеткам. Пусть начало координат находится в левом нижнем углу сетки. Центр окружности C находится в точке (3, 3). Радиус окружности R можно найти как расстояние от центра до любой точки на окружности, лежащей на пересечении линий сетки, например, до точки (6, 3). $R = \sqrt{(6-3)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ см.

Хорда проходит через центр окружности C(3, 3) и точку M(4, 4). Прямая, проходящая через центр окружности, содержит ее диаметр. Следовательно, изображенная хорда является диаметром окружности.

Длина диаметра равна двум радиусам: Длина хорды = $2R = 2 \times 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.