Номер 1334, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1334, страница 352.

1334 В остроугольный треугольник АВС впишите квадрат PQRS так, чтобы вершины P и Q принадлежали стороне АС, а вершины P и S — соответственно сторонам ВС и ВА (рис. 412).

Задача состоит в построении квадрата, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на его боковых сторонах. Для решения этой задачи применяется метод геометрических преобразований, а именно — гомотетия (или метод подобия).

Анализ и план построения

1. Идея. Предположим, что искомый квадрат PQRS уже построен. Его сторона SR параллельна стороне PQ, которая лежит на AC. Следовательно, SR параллельна AC. Это означает, что треугольник BSR подобен треугольнику BAC. Это свойство является ключом к построению. Мы можем построить "вспомогательный" квадрат, который будет подобен искомому, а затем с помощью гомотетии найти нужный нам квадрат.
2. Вспомогательный квадрат. Построим любой квадрат S'P'Q'R', у которого вершины P' и Q' лежат на стороне AC, а вершина S' — на стороне AB. Четвертая вершина R', скорее всего, не попадет на сторону BC.
3. Гомотетия. Заметим, что искомый квадрат PQRS и вспомогательный квадрат S'P'Q'R' гомотетичны относительно вершины A треугольника. Центр гомотетии — точка A, так как она переводит луч AB в себя и луч AC в себя. При этой гомотетии точка S' перейдет в S, P' в P, Q' в Q, а R' — в R. Так как вершина R искомого квадрата должна лежать на стороне BC, она будет являться точкой пересечения луча AR' со стороной BC. Это наблюдение дает нам полный план построения.

Построение

Выполним следующие шаги:

1. На стороне AB треугольника ABC выберем произвольную точку S'.
2. Из точки S' опустим перпендикуляр S'P' на сторону AC.
3. На прямой AC отложим отрезок P'Q', равный по длине отрезку S'P', так, чтобы точка P' находилась между A и Q'.
4. Построим квадрат S'P'Q'R', восставив перпендикуляр Q'R' к прямой AC в точке Q', равный по длине S'P'.
5. Проведем луч из вершины A через точку R' до его пересечения со стороной BC. Точку пересечения обозначим R. Это будет одна из вершин искомого квадрата.
6. Из точки R проведем прямую, параллельную стороне AC, до пересечения со стороной AB. Точку пересечения обозначим S.
7. Из точек S и R опустим перпендикуляры SP и RQ на сторону AC.
8. Четырехугольник PQRS является искомым вписанным квадратом.

Доказательство

По построению, SP ? AC и RQ ? AC, следовательно, SP || RQ. Также по построению SR || AC, а значит SR || PQ. Таким образом, PQRS — параллелограмм. Поскольку угол SPQ прямой (SP ? AC), PQRS — прямоугольник.
Осталось доказать, что его стороны равны, то есть SP = PQ. Рассмотрим гомотетию H с центром в точке A, переводящую точку R' в точку R. Эта гомотетия переводит прямую S'R' в прямую SR (так как S'R' || SR), прямую AB в себя, а прямую AC в себя. Следовательно, образом точки S' будет точка S ($H(S') = S$), образом P' будет P ($H(P') = P$), а образом Q' будет Q ($H(Q') = Q$). Поскольку гомотетия является преобразованием подобия, она переводит квадрат S'P'Q'R' в подобную ему фигуру. Так как образ квадрата при гомотетии — это квадрат, то PQRS также является квадратом. Вершины полученного квадрата PQRS лежат на соответствующих сторонах треугольника ABC по построению. Таким образом, построенный четырехугольник является искомым квадратом. Построение корректно.

Ответ: План построения искомого квадрата PQRS основан на методе гомотетии. Сначала строится вспомогательный квадрат S'P'Q'R', у которого вершина S' лежит на стороне AB, а сторона P'Q' — на стороне AC. Затем проводится луч AR' до пересечения со стороной BC в точке R. Точка R является вершиной искомого квадрата. Остальные вершины S, P, Q строятся проведением прямых, параллельных и перпендикулярных стороне AC, как описано в алгоритме построения выше.