Номер 1341, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1341, страница 353.

1341 Пользуясь предыдущей задачей, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Для доказательства теоремы воспользуемся утверждением, которое, как предполагается, было доказано в предыдущей задаче. Это утверждение связывает точку на медиане с радиус-векторами вершин треугольника.

Предполагаемое утверждение из предыдущей задачи:
Если точка $M$ делит медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ в отношении $AM:MA_1 = 2:1$, считая от вершины $A$, то ее радиус-вектор $\vec{OM}$ (где $O$ — произвольное начало отсчета) выражается формулой:
$\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$.

Доказательство теоремы о медианах:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем три медианы: $AA_1$ (к стороне $BC$), $BB_1$ (к стороне $AC$) и $CC_1$ (к стороне $AB$). Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$ — радиус-векторы вершин треугольника относительно произвольной точки $O$.

1. Найдем точку на медиане $AA_1$, которая делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $A$. Назовем эту точку $G$. Согласно нашему исходному утверждению, ее радиус-вектор $\vec{g}$ равен:
$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

2. Теперь покажем, что эта же точка $G$ лежит на двух других медианах и делит их в таком же отношении. Рассмотрим медиану $BB_1$. Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{b_1} = \vec{OB_1} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$. Найдем радиус-вектор точки, делящей отрезок $BB_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $B$:
$\vec{g'} = \frac{1 \cdot \vec{OB} + 2 \cdot \vec{OB_1}}{1+2} = \frac{\vec{b} + 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right)}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}}{3}$.
Так как $\vec{g'} = \vec{g}$, это та же самая точка $G$. Следовательно, точка $G$ лежит на медиане $BB_1$ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $B$.

3. Аналогично для медианы $CC_1$. Точка $C_1$ является серединой стороны $AB$, ее радиус-вектор $\vec{c_1} = \vec{OC_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$. Найдем радиус-вектор точки, делящей отрезок $CC_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$:
$\vec{g''} = \frac{1 \cdot \vec{OC} + 2 \cdot \vec{OC_1}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \right)}{3} = \frac{\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{3}$.
Так как $\vec{g''} = \vec{g}$, это снова та же самая точка $G$. Следовательно, точка $G$ лежит на медиане $CC_1$ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $C$.

Вывод:

Мы показали, что точка $G$, которая делит медиану $AA_1$ в отношении 2:1, также лежит на медианах $BB_1$ и $CC_1$ и делит их в том же отношении 2:1, считая от вершины.
Это означает, что все три медианы проходят через одну и ту же точку $G$, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Теорема доказана.